全国第七届高中青年数学教师优秀课展示与研讨活动
课题：求圆周率（1课时）
湖北省咸宁高中 谢余波
一、教学设计
1．教学内容解析
本课内容是在学完必修第一章《算法案例》及其课后阅读与思考《割圆术》、第三章3.3.2《均匀随机数的产生》、选修2-2第一章《导数及其应用》内容后，在选修3-1教学中安排的一节数学应用课，这节数学应用课是建立在回顾圆周率的数学史之中，通过圆周率的计算发展史，建立实际问题的数学模型，呈现数学家的探索过程和圆周率探求中理论的形成，探究其中所蕴含的数学思想，学习数学家认真和不怕艰苦的精神，虚心学习和不断创新的良好品质，同时激发学生的民族自豪感．
数学史上关于圆的度量和圆周率的推算，是中小学数学教学中十分有价值的史料，圆的度量
问题在中国几何学中占有极其重要的地位，它是在对形的认识与探测的历程中，由“直”跨入“曲”的关键一步，也是数学思想从“有限”进入“无限”的一次飞跃.伴随着圆的度量而推算出来的圆周率，其精确度常常被数学史家视为古代数学发展水平的重要标志.目的在于渗透数学史使数学的学习由“冰冷的美丽”变为“火热的思考”.因此，渗透数学思想的教学是本节课的重要内容．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为:
全国知名高中教学重点：将实际问题转化为不同的数学模型，了解圆周率的探索历史以及推求思想方法的演变过程、知识要点的梳理和思想体系的建构；感悟建模的思想、逼近的思想、算法的思想、微分思想和数形结合等思想方法与相关知识结构的联系．
2．学生学情诊断
学生在学习完新课后，已对求圆周率的发展史以及其中所蕴含的思想方法有了大致的了解，但求解方法间的内在联系还比较模糊，对圆周率的探索过程、思想方法的形成还有所欠缺；在新课中，学生对求圆周率的学习较为零散，对求解和推导过程间的联系、其中所
蕴含的思想的理解只是停留在表面层次上，尤其是对计算机时代的求解方法因涉及到的数据和信息比较复杂，可供选择的模型比较多，以及算法语句的繁杂，学生的每一步操作中都有一定的困难．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为:
教学难点：分析不同模型解决求圆周率的问题；如何从所学的求解方法提炼数学思想．
3．教学目标设置
（1）学习圆周率的发展简史，感受数学知识的探索过程，了解圆周率的研究史上的相关知识及做出重要贡献的人物和研究方法；
（2）通过以往学习和自主搜集的圆周率的相关资料，交流体验，培养收集信息、整合信息，提高质疑、理解的能力.在探求过程中，体验数学研究方法发展的过程、圆周率精确位数的现代价值等，提炼其中所蕴含的数学思想，培养了学生的数学学习能力；
（3）通过学习“圆周率的历史”，体验数学文化的魅力，激发研究数学的兴趣，同时激发民族自豪感；
4．教学策略分析
作为高中学生，他们运用图书、网络搜集信息的能力非常强，对于这部分内容相关的阅读资料的兴趣浓厚，许多学生都已经迫不及待的阅读、查阅.因此，不妨把阅读、收集、整理任务下放到课外，把搜集“圆周率的历史”资料作为课前实践作业，把课堂作为交流、释疑的平台.
数学应用课，应力图通过回顾、梳理相关的知识点来完善学生的知识结构体系，提高学生整合和运用知识解决问题的能力．本节课通过展示圆周率的简史，展示各组研究结果，将本节课所涉及的主要知识、思想方法有效串通起来，其特点是层次清晰、整体性强．
这节课的教学容量大，要求学生参与度高，需采用多媒体课件辅助教学，实物演示，并采用几何画板软件，教师课件中充分准备圆周率简史中所可能需要的历史背景．
教学流程：
情境引入
简史展示
信息分享
升华思想
成
迁移提升
5．教学过程
（1）情景引入
引言：师：圆周率是一个无限不循环小数，你能背多少呢？
以一段谐音引入课题.山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，遛尔遛死，扇扇刮，扇耳吃酒.（3.141592653589793238462643383279……）
动画展示：（圆周率的定义）
师：这么复杂的一个数，它是怎么来的呢？都有哪些研究方法呢？
【评析】以问题情境切入本节课，以一段圆周率记忆的谐音、定义的动画演示烘托气氛．课前布置相关实践活动，提高了学生主动参与学习的积极性．
（2）简史展示、信息分享
课前，我已经布置大家通过图书、网络查阅有关资料，各小组通过这些资料结合之前所学习的有关知识，并且有重点的研究和提交了实践作业.下面就让我们一起沿着前人的探索足迹，一起学习和分享求解圆周率的有关知识.
教师板书（求圆周率）并展示学生上交的课外实践作业
A、实验获取阶段（第一小组）
师：人们很早就注意到了圆周率.大约在2000多年前，中国的《周髀算经》中的记载是“周三径一”．方法是通过轮子转一圈的长度，观察到圆的周长和直径之间有一定的联系，通过测量、计算出圆的周长总是直径的3倍多．基督教中的《圣经》也把圆周率取为3．
师：看看他们的研究方法，你们实验了吗？
生：是的，我们在研究圆的周长的计算方法的时候，也测量几个圆的周长，再除以直径，总是三倍多一些.
学生实物演示
（教师板书：研究方法：观察、测量、计算，研究结论：周三径一，思想方法：以直代曲）
师：大家在课前收集的信息非常准确，早期人们还使用了其他的粗糙方法.
实物、图片展示：古希腊、古埃及人曾用个谷粒摆在圆形上，以谷粒数与方形中个对比的方法取得数值：（动画演示随机模拟实验）
用匀重木板锯成圆形和方形以称量对比取值：质地均匀、厚度一样的板材，
师：这一阶段，人们主要通过一些常用的刻度尺和其他测量工具、自制的圆探索圆周率.
【评析】以实际问题为载体，课前布置收集信息，要求学生联系已学过的有关圆周率知识和所收集到的信息解决问题，意在培养学生的阅读理解能力和知识整合能力．
凭直观推测或实物度量来计算，实验阶段得到π值的结果是相当粗略的，在众多数学家的努力下，值的计算进入了科学的阶段——几何算法阶段.
B、几何算法阶段（第二小组）
生：我们收集到的信息是几何法时期.代表人物有古希腊的阿基米德、中国的刘徽、祖冲之.阿基米德用的方法是利用圆内接正多边形和圆的外切正多边形进行研究；刘徽用的是“割圆术”；祖冲之用的方法历史上没有具体的记载，已经不是很清楚了.
师：他们的探索思路和结论呢？
教师展示多媒体课件：
生：古希腊的阿基米德开创了科学计算圆周率的几何时期在《圆的度量》，他利用圆的外切与内接边形，方法是利用圆内接正多边形和圆的外切正多边形进行研究；通过圆的周长大于圆内接多边形的周长而小于圆内接多边形的周长，使用上下界，求得圆周率为 ，这是数学史上最早的，且明确指出误差限度的值；
刘徽使用割圆术，得到圆周率的近似值是，化成分数就是，这就是著名的“徽率”；按照这样的思路，不断利用勾股定理算出边长，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正边形，由估计圆的面积的近似值，并由此而求得了圆周率为3.14.
师：刘徽的方法与阿基米德的方法相比，优点在哪里？
生：虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着更美妙之处.割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德同时用内接和外切正多边形的方法简捷得多.
师：祖冲之用什么方法得到那么精确的圆周率，已经很难知道了，但可以肯定刘徽的方法给了他很大的启发和影响. 祖冲之算出的两大贡献: 其一是求得圆周率 ，其二是得到的两个近似分数，即约率为，密率为.
要获得这一辉煌成就,必须付出巨大的劳动,如果没有认真和不怕艰苦的精神,是绝对做不到的.
（教师板书：研究方法：分割、计算，研究结论： ，思想方法：以直代曲、逼近思想、无限分割、数形结合）
【评析】组织学生主动地探求、同伴间合作交流，有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际的问题，增强学生的应用意识．重点研究我国在此时期作出卓越贡献的数学家的探求过程和思想方法，有利于激发学生的爱国主义精神和民族自豪感.
在这一时期，数学家们对圆周率精确值的探索颇有成就，涌现出了大量的伟人，他们都为圆周率的计算做出了卓越的贡献.但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家的一生也改进不了多少.古典方法已引导数学家们走了很远，再向前推进，必须在方法上有所突破.
C、分析算法阶段（第三小组）
师：17 世纪出现了数学分析这一锐利的工具，微分思想的成熟使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解，的计算历史也随之进入一个新的阶段。你了解哪些新方法时代的圆周率计算方法？
1、的陈旧方法的突破———解析表达式的发现.
2、的计算方法的最大突破———反正切函数表达式.
3、概率方法的使用是我们在几何概型中学习过的.
时期 | 代表 | 方法 | 值 | 思想方法 |
分 析 算 法 | 韦达 | 分析式和级数刻画 | = | 数 学 分 析 |
牛顿 | 级数展开式 | |||
梅钦 | 反正切 | |||
欧拉 | 欧拉级数 | |||
李善兰 | 尖锥术 | |||
列维.史密斯、 雷恩奇 | 分析计算 | 的位，人工算的最高纪录 | ||
蒲丰 | 投针实验 | 概率思想 | ||
（学生分组利用计算器求上式的值进行检验）
重点介绍概率思想结合计算机的使用求解圆周率的方法.（蒲丰投针实验）
问题: 将长为的匀质细针随机地掷于画了等距平行线族的平面上，相邻两平行线距离为 a，a ＞，求针与平行线相交的概率.
师：通过此问题，怎样求出的近似值呢？（几何画板动画演示求圆周率.）
（教师板书：研究方法：研究结论：，思想方法：）
概率方法的出现，使的计算又一次靠近了精确值，而数学家们并没有为此沾沾自喜，探索还在继续……
D、的计算工具的突破———电子计算机的使用（第四小组）
计算机的产生，使圆周率的计算达到了惊人的程度，圆周率的值达到难以想象的精度，再继续研究计算圆周率的精度已经变得意义不大.
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论