第36届俄罗斯数学奥林匹克十一年级
中等数学第36届俄罗斯数学奥林匹克(十一年级)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)10—0032—03
11．1．是否存在非零实数a。，a：，…，a…使得
斡+丢)=肌一丢)?
11．2．在n×n(n≥4)的方格表的一条对角线上的每个方格内有一个“+”号，其余每个方格内有一个“一”号．将任一行或一列中所有的正负号变号称为一次操作．证明：经过任意有限次操作后，方格表中至少还有n个“+”号．
11．3．圆t o的内接四边形A B C D的对角线交于点K，膨。、鸭、鸭、帆分别是圆t O的弧A B、B C、C D、D A(不含其他顶点)的中点，“，2、厶、，4分别是△A B K、A B C K、A C D K、A D A K的内心．求证：直线肘。“收，2、坞毛、M414共点．
11．4．给定正整数n(n≥3)．求使得下面结论恒成立的最小的正整数k．
对于平面上任意三点不共线的n个点A；=(并i，Y；)，任意r g个实数c；(1≤i≤，1)，都存在一个次数不超过k的二元实系数多项式P(石，Y)，满足
俄罗斯奥林匹克委员会P(筏，Y‘)=C i(i=l，2，…，n)．
11．5．给定正整数n(n>1)．证明：存在n个连续的正整数，使得它们的乘积是所有不超过2乃+l的质数的倍数，但不是任意其他质数的倍数．
11．6．四面体四个面的内心可否共面?
11．7．已知n(n≥3)次多项式P(x)的n 个实根髫l<；茹2<…<；髫。满足
茹2一X l<X3一髫2<…<；舅n一菇n—I
证明：函Y=I P(x)I在区间[菇，，菇。]上的最大值一定在区间[菇。一。，菇。]上的某点处达到．
11．8．某寄宿学校中有512名学生住在256间宿舍，每间宿舍合住的两人称为室友．已知这些学生共选修9门课，且任意两名同学所选课程都不完全相同．证明：所有同学可以排成一圈满足：
(1)任意两个室友相邻；
(2)任意非室友相邻的两人中一人所选的课程是另一人所选课程的子集且恰少选一门课．
参考答案
11．1．不存在．
注意到对k=l，2，…，10，有
l口。+：：l=I口。I+jJak—l
>m ax{lakl，亩蚓旷上ak l≥o．
将上述不等式相乘得
扑+丢J>扑一斟
11．2．用(i，J)表示第i行、第J列的方格．不妨设(i，i)(i=l，2，…，n)中有“+”号．显然，操作不能改变位于方格表中任意矩形的四个角(称为四联角)中“+”号个数的奇偶性．
考虑以下n个互不相交的四联角，
{(i,i)，(i，i+1)，(i+2，i)，(i+2，i+1)} (i=l，2，…，n一2)，
{(厅一1，n一1)，(n一1，，1)，(1，n—1)，(1，n)}，
{(，l，n)，(r g，1)，(2，rt)，(2，1)}．
由于初始时刻，它们都各含1个“+”号，故它们永远都至少各含一个“+”号．

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