第7讲 分布列与数学期望
高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型
类型一：利用古典概型求概率
1．10月1日,某品牌的两款最新手机（记为型号,型号）同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部）,得到如表
手机店 | |||||
型号手机销量 | 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
型号手机销量 | 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
（Ⅰ）若在六级合格线多少分10月1日当天,从,这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数,求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）经测算,型号手机的销售成本（百元）与销量（部满足关系．若表中型号手机销量的方差,试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值．（用表示,结论不要求证明）
2．为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标和的数据,并制成如图,其中“”表示服药者,“”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标的值小于60的概率；
（2）从图中,,,四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望；
（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）
3．已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元）,求的分布列和数学期望．
类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率
4．电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表：
电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 |
好评率 | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 | 0.1 |
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢．“”表示第类电影没有得到人们喜欢,2,3,4,5,．写出方差,,,,,的大小关系．
5．设甲、乙两位同学上学期间,每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为,求,,,时的概率,,,．
（2）设为事件“上学期间的三天中,甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率．
类型三：利用条件概率公式求概率
6．如图所示,质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点从点出发,规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点前进一步（如由到；当正方体上底面出现的数字是2,质点前两步（如由到,当正方体上底面出现的数字是3,质点前进三步（如由到．在质点转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止．
（1）求点恰好返回到点的概率；
（2）在点转一圈恰能返回到点的所有结果中,用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数,求的分布列及数学期望．
7．根据以往的经验,某工程施工期间的降水量（单位：对工期的影响如下表：
降水量 | ||||
工期延误天数 | 0 | 2 | 6 | 10 |
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求：
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