2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3
C.4
D.6
【答案】C
【解析】∵A B 中的元素满足8
y x
x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，
∴满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),∴A B 中元素的个数为4.故选C.
2.复数
1
13i
-的虚部是（）
A.310
-
B.110
-
C.
110
D.
310
【答案】D 【解析】∵11313
13(13)(13)1010i z i i i i +=
==+--+，∴113z i =-的虚部为310
.故选D.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且41
1i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A.14230.1,0.4p p p p ====
B.14230.4,0.1p p p p ====
C.14230.2,0.3p p p p ====
D.14230.3,0.2
p p p p ====【答案】B
【解析】对于A 选项，数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，
方差为()()()()2
2
2
2
2
1 2.50.1
2 2.50.4
3 2.50.4
4 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；
对于B 选项，数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；
对于C 选项，数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；
对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.
综上，B 选项这一组的标准差最大.故选B.
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)
()=
1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）
（ln19≈3）A.60 B.63
C.66
D.69
【答案】C 【解析】()()
0.23531t K I t e
--=
+ ，∴()()
0.23530.951t K
I t K e *
*
--=
=+，则()0.235319t e *-=，
∴()0.2353ln193t *
-=≈，解得353660.23
t *≈+≈.故选C.5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，
若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）
A.1,04
⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.1,02⎛⎫ ⎪
国考准考证号⎝⎭
C.(1,0)
D.(2,0)
【答案】B
【解析】∵直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点且OD OE ⊥，
根据抛物线的对称性可以确定4
DOx EOx π
∠=∠=，∴()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，∴其焦点坐标为1
(,0)2
，故选B.
6.已知向量,a b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （
）A.31
35
-
B.1935
-
C.
1735
D.
1935
【答案】D
【解析】∵5a = ,6b = ,6a b ⋅=-
，∴()
225619a a b a a b ⋅+=+⋅=-= .
∴
7a b +=
，∴()
1919
cos ,5735a a b a a b a a b
⋅+<+>===⨯⋅+ .故选D.7.在△ABC 中，cos C =2
3
，AC =4，BC =3，则cos B =（）
A.
19
B.
13
C.
12
D.
23
【答案】A
【解析】∵在ABC ∆中，2
cos 3
C =
，4AC =，3BC =根据余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C
=+-⋅⋅2224322
433
AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB =，即3
AB =
22299161
cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9
B =.故选A.
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（
）A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据三视图特征，
在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：
1
222
2
ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△
根据勾股定理可得：
AD DB ==∴ADB △
是边长为
根据三角形面积公式可得：
211sin 6022ADB S AB
AD =
⋅⋅
︒=⋅△∴该几何体的表面积是632=⨯++ C.9.已知2tan θ–tan(θ+π
4
)=7，则tan θ=（）
A.–2
B.–1
C.1
D.2
【答案】D
【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+
= ⎪⎝
⎭ ,∴tan 1
2tan 71tan θθθ+-
=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271t
t t
+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2
θ=.故选D.
10.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=1
5
都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1 B.y =2x +
12 C.y =
1
2
x +1 D.y =
12x +12
【答案】D
【解析】设直线
l 在曲线y =
上的切点为(0
x ，则00x >，
函数y =
的导数为y '=
，则直线l
的斜率k
=
，
设直线l 的方程为)0
y x x =
-，即00x x -+=，由于直线l
与圆22
15
x y
+=
=，两边平方并整理得2
005410x x --=，解得01x =，01
5
x =-（舍），
则直线l 的方程为210x y -+
=，即11
22
y x =
+.故选D.
11.设双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是
C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（
）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A
【解析】∵5c
a
=，∴5c a =，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，
12121
||42
PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，
∵12F P F P ⊥，∴()22
212||2PF PF c +=，
∴()
2
212
1224PF PF PF PF c -+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A.
12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b 【答案】A
【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，
58log 3lg3lg8log 5lg5lg5a b ==⋅()22
2
2
1lg3lg8lg3lg8lg 24122lg5lg 25lg5⎛⎫⎛⎫++⎛⎫<
⋅==<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，∴a b <；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，∴54b <，可得4
5
b <；
由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，∴54c >，可得4
5
c >.
综上所述，a b c <<.故选A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
，，则z =3x +2y 的最大值为_________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
∵32z x y =+，∴322
x z y =-
+，易知截距2
z
越大，则z 越大，
平移直线32
x
y =-，
当322x z
y =-
+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩
，(1,2)A ，
∴max 31227z =⨯+⨯=.故答案为7.
14.2
62()x x
+的展开式中常数项是__________（用数字作答）
．【答案】240
【解析】 6
22x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，其二项式展开通项
()626
12r
r
r r C x x T -+⎛⎫
⋅⋅ ⎪⎝⎭
=1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，
令1230r -=得4r =,
∴6
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项是6
64
422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，
球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，
设内切圆的圆心为O
，由于AM =，
∴1
22
S =
⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则ABC AOB BOC AOC
S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯(
)1
3322
r =⨯++⨯=
解得r =，其体积34233
V r π==
.故答案为3.
16.关于函数f （x ）=1
sin sin x x
+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）
的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2
π
对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③
【解析】∵152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,152622f π⎛⎫
-
=--=- ⎪⎝⎭
，则66f
f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；
∵函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，
()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛
⎫-=-+
=--=-+=- ⎪-⎝⎭
，
∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；
11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫
-
=-+=+
⎪ ⎪⎛⎫
⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫
+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪
⎝⎭
，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于直线2
x π
=对称，命题③正确；
∵当0x π-<<；时，sin 0x <，则()1
sin 02sin f x x x
=+
<<
，命题④错误.
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论