江苏省海门市东洲国际学校2024届高考模拟调研卷数学试题(一)
江苏省海门市东洲国际学校2024届高考模拟调研卷数学试题（一）
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（    ）
A ．1
B ．5
C ．3
D ．5
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（    ）
A ．24π
B ．28π
C ．32π
D ．36π
3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（  ）
A ．(
)85424π B ．()85824π C ．()854216π D ．()
858216π 4．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（    ）
A ．32i -+
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i - 5．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（    ）
A ．22y x =
B ．24y x =
C ．26y x =
D ．28y x =
7．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（  ）
A ．56
B ．60
C ．140
D ．120
8．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n n n n n
a a
b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n a
c b =，当34c c +最小时，5c 的值为(    ) A ．2
B ．145
C ．3
D ．4 9．为得到的图象，只需要将
的图象（ ） A ．向左平移个单位    B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且
1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝
⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是(    )
A
B ．15 C
D
11．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则(    )
A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >
B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >
C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <
D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <
12．将函数()sin(3)6f x x π
=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵
坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（    ）
A ．9π
B ．29π
C ．18π
D ．24π国考准考证号
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l 是圆1C ：22(1)1x y ++=与圆2C ：22(4)4x y ++=的公切线，并且l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相交
于A ，B 两点，则AOB ∆的面积为_________
14．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.
15．设x ，y 满足条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，则23z x y =-的最大值为__________.
16．设向量a (),1=m ，b ()2,1=，且a b ⋅=()
2212a b +，则m =_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）设函数2()sin 2cos cos 6f x x x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
． （1）若||4x π
<，求函数()f x 的值域；
（2）设,,A B C 为ABC
的三个内角，若5,cos()22
A f A C ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭cos C 的值； 18．（12分）已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
19．（12分）已知函数()2
123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3. （1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;
（2）若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求
b c 的取值范围. 20．（12分）如图，在直角ACB △中，2ACB π
∠=，3CAB π
∠=，2AC =，点M 在线段AB 上.
（1）若3sin 3
CMA ∠=，求CM 的长； （2）点N 是线段CB 上一点，7MN =，且12
BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值. 21．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记()P a X b ≤≤表示学生的考核成绩在区间[],a b 的概率，根据以往培训数据，规定当8510.510x P ⎛-⎫≤≥
⎪⎝⎭
时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
22．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()23sin 4sin 2C A B +=. （1）求cos C ；
（2）若b ＝7，D 是BC 边上的点，且△ACD 的面积为3sin ∠ADB .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A
【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出z，求出z的模即可．
【详解】
解：
55(34)43
34255
i i i i
z
i
+-+
===
-
，
22
43
1
55
z ⎛⎫⎛⎫
∴=-+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
故选：A
【点睛】
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．
2．C
【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.
【详解】
由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，
侧棱长为4，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，

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