2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
国考准考证号数学（六）
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.已知集合{
}210
A x x =-≤，{}20
B x x a =-≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范
围是（）
A.
(],2-∞- B.
[)
2,-+∞C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D.1,2⎛
⎤-∞-
⎥⎝⎦
【答案】C 【解析】
【分析】求出{
}
11A x x =-≤≤，{}
2B x x a =≥，根据A B B ⋃=，得到A B ⊆，从而得到不等式，求出实数a 的取值范围.
【详解】{}{
}
2
1011A x x x x =-≤=-≤≤，{}{}
202B x x a x x a =-≥=≥，因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，故21a ≤-，解得：1
2
a ≤-，故选：C
2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()i 3i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（）
A.-1
B.0
C.3
D.-3
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法法则得到3i z a =+，从而得到3a =.【详解】()2
i 3i i 3i 3i z a a a =-=-+=+，故3a =.
故选：C
3.双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，且过点()2,2A ，则双曲线方程为
（
）
A.2
2
1
2y x -= B.22
1
24x y -=C.221
42
x y -= D.221
36
x y -=【答案】B 【解析】
【分析】通过已知得出a 与b 的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答案.
【详解】 双曲线()222210,0x y
a b a b
-=>>c
a
∴
=，222a b c += ，
222
3a b a
+∴=，即222a b =， 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>过点()2,2A ，2
244
1a b
∴
-=，
则由222a b =与
22
44
1a b -=联立解得：a =，2b =，∴双曲线的方程为：22124
x y -=，故选：B.
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]
2.12=，[]33=，
[]1.52-=-，设0
x 为函数()33
log 1
f x x x =-
+的零点，则[]0x =（）
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】A 【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断0x 所在区间，最后根据高斯函数的定义计算可得.
【详解】解：因为3log y x =与3
1
y x =-+在()0,∞+上单调递增，所以()33
log 1
f x x x =-+在()0,∞+上单调递增，又()33313lo
g 3103144f =-
=-=>+，()3332log 2log 21021
f =-=-<+，所以()f x 在()2,3上存在唯一零点0x ，即()02,3x ∈，所以[]02x =.故选：A
5.已知点P 是圆(()2
2
:34C x y -+-=上一点，若点P 到直线2y =-的距离为
1，则满足条件的点P 的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C 【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.
【详解】由题意可知圆心为)
C
，所以)
C
到2y =-的距离为
1d =
=，故与直线2y =-平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点
即为满足条件的点P ，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与2y =-垂直的
直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.故选:C
6.已知ππ,42α⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，且25cos 10sin 29αα+=，则tan α=（）
A.
29
B.2
C.
12
D.
92
【答案】B 【解析】
【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系22sin cos 1αα+=代换，可得2
5209t ta an 1
n αα
+=+，根据α的范围即可求解.
【详解】由25cos 10sin 29αα+=，得
25cos 20sin cos 9ααα+=，
则2225cos 20sin cos 9sin cos ααααα
+=+，
即
2
5209t ta an 1
n αα
+=+，得29tan 20tan 40αα-+=，则()()9tan 2tan 20αα--=，得2
tan 9
α=
或tan 2α=，又ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，所以tan 1α>，故tan 2α=.故选：B
7.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（）
A.
14
B.
12
C.
13 D.
16
【答案】C 【解析】
【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法的所有排法，再求甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法，根据古典概型概率公式求概率.
【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法有4
4A =24种，
甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法有2
2
222A A =8种，
由古典概型的概率公式可得甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率：81243
P ==，故选：C .
8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BD 上运动（包含端点），则直线1B P 与1C D 所成角的取值范围是（
）
A.ππ,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D.ππ,62⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以
1111B P B B BP B B BD λ=+=+ (,,1)λλλ=---+（01λ≤≤）
，又1(0,1,1)DC =
，设则直线1B P 与1C D 所成角为θ，则11cos cos ,B P DC θ=
，结合λ的范围即可得解.
【详解】
以1,,DA DC DD 为,,x y z 建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,1,1)C ，1(1,1,1)B ，
所以1111B P B B BP B B BD λ=+=+
(0,0,1)(1,1,1)(,,1)
λλλλ=-+--=---+（01λ≤≤）
1(0,1,1)DC =
，
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