第1页共4页
松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷
高三数学
（满分150分，完卷时间120分钟）2020.5
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．若集合{2,4,6,8}=A ，2{|40}=-≤B x x x ，则A B I =▲．
2．已知复数1z =a +2i ，2z 23i =+（i 是虚数单位），若12z z ⋅是纯虚数，则实数a =▲
．3．已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为▲．
4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15374,12a a a a +=+=，则7S =▲．5．若8()x a +的展开式中5x 项的系数为56，则实数a =▲．6．已知数列{}n a 的首项11=a ，且满足
1012+=n n a a *()n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则lim →∞=n n S ▲．
7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是▲立方米．8．若函数2()log (21)x
f x kx =++是偶函数，则k =▲．
9．已知等边ABC ∆
的边长为，点P 是其外接圆上的一个动点，则PA PB ⋅uu r uur
的取值范围是▲．10．已知函数()cos(2)6π=-f x x ，若对于任意的1[,]44
ππ∈-x ，总存在2[,]x m n ∈，使得12()()0+=f x f x ，则-m n 的最小值为_▲．11．已知集合12{(,,,)1,1,2,,}==±=L L n n i A x x x x i n ，元素1(1,1,,1)=L n 称为集合n A 的特征元素．对于n A 中的元素12(,,,)=L n a a a a 与12(,,,)=L n b b b b ，定义：1122()⊗=⨯+⨯++⨯L n n n f a b a b a b a b ．当9=n 时，若a 是集合9A 中的非特征元素，则99(1)1f a ⊗=的概率为▲．
第2页共4
页12．已知函数20()log ()
0a x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩(a R ∈且a 为常数)和()(g x k k R =∈且k 为常数)，有以下命题：
①当0k <；时，函数()()()F x f x g x =-没有零点；②当0x <；时，2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同的零点123,,x x x ，则
1231x x x ⋅⋅=-；
③对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点
1234x x x x <<<，且1243,,,x x x x 成等比数列．
其中的真命题是▲．（写出所有真命题的序号）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．若O 为坐标原点，P 是直线20-+=x y 上的动点，则OP 的最小值为(A)22
(B)
上海高考时间2020
(C)(D)214．若1-≤x a 成立的一个充分不必要条件是12≤≤x ，则实数a 的取值范围是(A)12≤≤a (B)1a ≥(C)2≤a (D)1≥a 或2
≤a 15．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 两点分别从点B 和点
1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在
运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为(A)[
,43ππ
(B)2[arctan 2
(C)[4π(D)2[arctan ]22
π16．已知实数12100,,,[1,1]x x x ∈- ，且12100x x x π+++= ，则当22212100x x x +++ 取
得最大值时，12100,,,x x x 这100个数中，值为1的个数为
(A)50个(B)51个(C)52个(D)53个
第3页共4页
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知四棱锥-P ABCD 的底面是正方形，⊥PA 底面ABCD ，
2AP AB AD ===，E 是侧棱PB 的中点．
（1）求异面直线AE 与PD 所成的角；
（2）求点B 到平面ECD 的距离．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数2()2cos cos =+f x x x x ．
（1）求()f x 的最大值和最小正周期T ；
（2）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(32
=A f ，且1=a ，求∆ABC 面积的最大值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛
⎫=⋅- ⎪+⎝⎭
(万套)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）．A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20850)++x t (万元)．
（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数；
（2）对任意的[0,10]∈x (万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到
0.01）.
第4页共4
页20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
满分6分．如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b
+=>>经过圆22:(1)4N x y ++=与x 轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A B 、两点，交圆N 于C D 、两点，且满足AC DB = ，求证：线段AB 的中点E 在定直线上．
21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数()f x 的定义域为D ，若存在实常数λ及(0)a a ≠，对任意x D ∈，当x a D +∈且x a D -∈时，都有()()()f x a f x a f x λ++-=成立，则称函数()f x 具有性质(,)λM a .
（1）判断函数2
()f x x =是否具有性质(,)λM a ，并说明理由；（2）若函数()sin 2sin g x x x =+具有性质(,)λM a ，求λ及a 应满足的条件；
（3）已知函数()=y h x 不存在零点，当∈x R 时具有性质1(,1)+M t t （其中0,1>≠t t ），
记()n a h n =*()∈n N ，求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件是21a t a =或211a a t
=.
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论