导数高考大题
函数与导数综合
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥
12
x 3
+1，求a 的取值范围. 2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：33
()8
f x ≤
； （3）设n ∈N *，证明：sin 2
x sin 2
2x sin 2
4x …sin 22n
x ≤34
n
n .
3.（2020·新课标Ⅲ）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (1
2
))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．
（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 4.（2020·北京卷）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；
（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 5.（2020·江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线
MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2
1140
h a =
；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3
216800
h b b =-
+.已知点B 到OO '的距离为40米.
（1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3
2
k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?
6.（2020·江苏卷）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有
()()()f x h x g x ≥≥．
（1）若()()22
2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，
，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln  ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，
，求k 的取值范围；
（3）若()
422242
() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求
证：n m -≤
7.（2020·山东卷）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．
（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．
8.（2020·天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，
（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9
()()()g x f x f x x
'
=-+
的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->-．
9.（2020·浙江卷）已知12a <≤，函数()e x
f x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，
上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，
上的零点，证明：
（ⅰ0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．
【2019年】
8．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：
（1）()f x '在区间(1,)2
π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．
9．【2019年高考全国Ⅱ卷】已知函数()1
1
ln x f x x x -=-
+.
（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；
（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数32()2f x x ax b =-+.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.
11．【2019年高考北京】已知函数3
21()4
f x x x x =
-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；
（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．
12．【2019年高考天津】设函数()e cos ,()x
f x x
g x =为()f x 的导函数．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π
⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭
；
（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫
π+
π+ ⎪⎝⎭
内的零点，其中n ∈N ，证明200
22sin c s e o n n n x x x -π
ππ+-<-．
13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >
（1）当3
4
a =-
时，求函数()f x 的单调区间；
（2）对任意2
1
[
,)
e x ∈+∞均有(),2x
f x a ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．
14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．
（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；
（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤
4
27
． 【2018年】
20. （2018年浙江卷）已知函数f (x )=−ln x ．
（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．  21. （2018年天津卷）已知函数，
，其中a >1.
（I ）求函数的单调区间；
（II ）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明
；
（III ）证明当
时，存在直线l ，使l 是曲线
的切线，也是曲线的切线
22. （2018年北京卷）设函数
=[
]
．
（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ；
（Ⅱ）若
在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．
23. （2018年江苏卷）记
分别为函数
的导函数．若存在
，满足
且
，则称为函数
与的一个“S 点”．
（1）证明：函数与不存在“S 点”； （2）若函数与存在“S 点”，求实数a 的值； （3）已知函数
，
．对任意
，判断是否存在
，使函数
与
在区间
内存在“S 点”，并说明理由．
24. （2018年江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧（P 为此圆弧
的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建
两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为
，要求
均在线段
上，
均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 25. （2018年全国I 卷理数）已知函数．
（1）讨论的单调性； （2）若
存在两个极值点
，证明：
26. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知函数．
（1）若，证明：当时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求．
27. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
2016江苏高考（2）若在
只有一个零点，求．
【2017年】
4.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x
x f x ae a e x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
5.【2017课标II ，理】已知函数()2
ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；
(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2
202e
f x --<<。
6.【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- .

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