图
1 图2
2014年广东高考理科数学真题及答案
一、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，满分40分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M
N =
A ．{0,1}
B ．{1,0,2}-
C ．{1,0,1,2}-
D ．{1,0,1}- 2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z = A ．34i -+
B ．34i --
C ．34i +
D ．34i -
3．若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≤≤≥， 且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．若实数k 满足09k <<， 则曲线
22
1259x y k
-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等 5．已知向量(1,0,1)-a =，则下列向量中与a 成60夹角的是 A ．(1,1,0)- B ．(1,1,0)- C ．(0,1,1)- D ．(1,0,1)-
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A ．200，20
B ．100，20
C ．200，10
D ．100，10
7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．1l 与4l 既不垂直也不平行 D ．1l 与4l 的位置关系不确定 8．设集合(){}{}1
2
3
4
5
,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i
A x x x x x x i =
∈-=
，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ++++≤≤”的元素个数为 A ．60 B ．90 C ．120 D ．130
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
A
F
E
D C
B
图3
（一）必做题（9 ~ 13题）
9．不等式125x x -++≥的解集为 ． 10．曲线25+=-x
e
y 在点)3,0(处的切线方程为 ．
11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ． 12．在ABC ∆中，角C B A ,，所对应的边分别为c b a ,,. 已知b B c C b 2cos cos =+，则
=b
a
．
13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
12911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a ++
+= ．
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2
sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE
交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积
的面积
＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()sin()4f x A x π
=+，x ∈R ，且2
3
)125(=πf ． （1）求A 的值；
（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4
3
(θπ-f ． 17．（本小题满分12分）
图4
P
A
B
C
E
D F
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8
0.32
(40,45] 1n 1f
(45,50]
2n
2f
（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．
18．（本小题满分14分）
如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．
（1）证明：CF ⊥平面ADF ；
（2）求二面角D AF E --的余弦值． 19．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足21234n n S na n n +=--，*
n ∈N ，且315S =．
（1）求123,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分14分）
已知椭圆2222:1x y C a b
+=(0)a b >>的一个焦点为
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
21.（本小题满分14分）
设函数
()f x =
，其中2k <-．
（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；
（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9 ~ 13题）
9. (,3][2,)
-∞-+∞ 10. 530
x y
2014年广东高考+-= 11.
1
6
12. 2 13.50 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
14.(1,1) 15.9
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
16. 解：（1）
5523
()sin()sin
12124322
f A A A
ππππ
=+===，解得A=
（2）由（1）得())
4
f x x
π
=+，
所以()()sin()sin()
44
f f
ππ
θθθθ
+-=++-
3
3()cos)
22222
θθθθθ
=++-==
所以cos
4
θ=，又因为)
2
,0(
π
θ∈，所以sin
4
θ==
所以
33
()sin())
44444
f
π
πθπθπθθ
-=-+=-===.
17.（本小题满分12分）
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