罗默《高级宏观经济学》（第3版）第3章 新增长理论
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3.1 考虑教材中第3.2节中1θ<；时的模型。
（a ）在均衡增长路径上，()A A g t *=
，其中A g *
是A g 的均衡增长路径值。利用这个事实
以及方程（3.6）()()() L t B a L A t A t θ
γ
=
［］推导均衡增长路径上() A t 的一个表达式，把它用B 、
L a 、γ、θ和()L t 来表示。
抗忙北鼻（b ）应用对（a ）问的答案以及生产函数()()()()1L Y t A t a L t =-，求均衡增长路径上()Y t 的表达式。求最大化均衡路径产出的L a 的值。
元旦短句10字答：（a ）关于产出和知识的生产函数为：
()()()()1L Y t A t a L t =- （1）
()()()() 1L t B a L t t A A θ
γθ=<
［］ （2） 在均衡增长路径上，()()()//1A A t A t g n γθ*==- （3） 对（2）两边除以() A t ，即：
()()()()
1
/L t A t Ba L t A A t γθγ-=
（4）
将（3）（4）联立得：
()()
()
()()1
1
/1/(1)L L Ba L t t n A n Ba L t A t γ
θθγ
γγγθγθ--⎡⎤=-⇒=-⎣⎦
上式简化为：
()()()()
1/11/L A t Ba L t n θγ初一英语试卷
γθγ-⎡⎤
=-⎣⎦
（5）
（b ）将（5）代入（1）得：
()()()()()
()()()
(1/11/1/11
)
()
2010年个人工作总结())1(/1/11/1L L L L Y t Ba L t n a L t B n a a L t θγ
γθγθγθθγθγ---+-⎡⎤
=--⎣⎦
- -⎡=⎤ ⎣⎦
［］
两边取对数，可得：
()()()()()()()()ln 1/1ln 1//1ln ln 1/11ln L L Y t B n a a L t θθγγθγθ⎡⎤=--+-+-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
一阶条件为：
经过简单的数学运算求L a *
：
（6）
θ值越大，新知识在生产函数中的作用越大。γ值越大，劳动在生产函数中的作用越大，需要雇佣越多的劳动。
3.2 考虑两个经济（用12i = ，表示），这两个经济由()()i i Y t K t θ
=和()()i i K t s t Y =
描述，
其中1θ>。假设两个经济中K 的初始值相同，但是12s s >。证明12/Y Y 是连续增加的。
证明：将产出函数()()i i Y t K t θ
=代入资本累积方程()()i i K t s t Y =
得：
()()i i i K t s t K θ
=
，1θ> （1）
在方程（1）两边同时除以()i K t 以求出资本增长率的表达式，即：
()()()()
1
,/K i i i i i g t K t K t s K t θ-≡=
（2）
对方程（2）求导数，求出资本增长率的增长率，即：
()()()(),,,/1K i K i i K t g t g t g θ=-
（3）
方程（3）简化为：
()()()2
,,1K i K i t t g g θ=-
（4）
如图3-1所示。
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图3-1 资本增长率
由于1θ>，所以K i g ，总是保持增长。K i g ，的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如方程（2）所示。因此，即使两个经济中K 的初始值相同，只要12s s >，则两个经济的初始资本存量的增长率()0K i g ，便不同。由方程（3）可知，K i g ，的增长率是由K i g ，决定的。因此，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。因此，对于所有的0t ≥，有 ()()12K K g t g t ，，＞，并且两个国家的差距会越来越大。
将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即：
()()()()1212//Y t Y t K t K t θ
=⎡⎤⎣⎦ （5）
对方程（5）两边取对数，然后求导，得：
（6）
由方程（6）可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的0t ≥，都有()()12K K g t g t ，，＞成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出的比率将持续上升，并且以递增的速率上升。
3.3 考虑第3.3节中分析的经济。假设1θβ+<，0n >，且经济处于均衡增长路径上。说明以下各种变化如何影响0A g =
线和0K g =
线，以及变化发生时经济在()A k g g ，空间上的位置：
（a ）n 增加； （b ）K a 增加；
（c ）θ增加。 答：（a ）n 增加
0A g =
线和0K g =
线由下式给出：
0A K k g n g g ∙
=⇒=+ （1）
2023兔年春节吉祥词()10k A A g g n g θγβ
∙
=-⇒-=
（2）
资本和知识的增长率公式为：
（3）
（4）
从方程（1）可以看出，对于给定的A g ∙
，由于n 增加，满足0K g ∙
=的k g 变大了，0K g ∙
=线向上移动；从方程（2）可以看出，由于n 增加，对于给定的A g ，满足0A g ∙
=的k g 变小了，因此0A g ∙
=向下移动，如图3-2所示。
图3-2 n 增加对0A g ∙
=与0K g ∙
=的影响
由于n 并没有出现在方程（3）中，因此k g 没有随着n 的增加而向上移动。同理，由于n 并没有出现在方程（4）中，A g 没有随着n 的增加而向上移动。
（b ）K a 增加
由于K a 并没有出现在方程（1）和（2）中，因此0A g ∙
=线和0K g ∙
=线随着K a 的增加都没有变化。在方程（3）中，K a 增加引起资本的增长率k g 向下移动。在方程（4）中，K a 增加引起知识的增长率A g 向上移动。因此经济向F 点移动，如图3-3所示。
图3-3 K a 增加对0A g ∙
=与0K g ∙
=的影响
（c ）θ增加
因为θ没有出现在方程（1）中，因此0K g ∙
=没有随着θ增加而变化；因为θ出现在方程（2）中，因此0A g ∙
=变的更加平坦；因为θ没有出现在方程（3）中，因此资本的增长率
k g 没有变化；因为θ出现在方程（4）中，需要判断θ增加的效果，可以发现θ增加可能会
导致A g 向上、向下或保持不变，如图3-4所示。
图3-4 θ增加对0A g ∙
=与0K g ∙
=的影响
对方程（4）两边取对数，即：
()()()()()ln ln ln ln 1ln A A g t c K t L t A t βγθ=+++-
上式两边对θ求导，可得：
()()ln /ln A g t A t θ∂∂= （5）
因此，如果()A t 小于1，则()ln 0A t <，随着θ增加，知识增长率向下跳动；如果()A t 大于1，则()ln 0A t >，随着θ增加，知识增长率向上移动；如果()A t 等于1，则()ln 0A t =，A g 不发生变化。这意味着向NEW E 的动态调整可能会依赖于随着θ增加的A g 的值。
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