2023年考研考前数学知识点终极梳理
2023年考研考前数学知识点终极梳理
2023年考研考前数学知识点终极梳理
从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种根本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;纯熟掌握计算方法后，再考虑利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比方会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数连续点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比拟明晰。
极限局部：
极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四那么运算，等价无穷小交换，洛必达法那么，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法详细的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回忆一下，不太明晰的地方再翻到对应的章节看一看。
考研数学一二三区别会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的根本概念：
通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是连续点的分类，详细标准如下：
从中我们也可以看出，讨论函数连续点的分类，也仅需要计算左右极限。
再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。
以上就是极限这个体系下主要的知识点。
导数局部：
导数可以通过其定义计算，比方对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法那么来计算的。主要的求导法那么有下面这些：四那么运算，复合函数求导法那么，反函数求导法那么，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该
是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法那么里面了。能纯熟运用这些根本的求导法那么之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一局部的题目往往不难，但计算量比拟大，需要考生有较高的纯熟度。
然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一局部都有一系列相关的定理，考生自行回忆一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考察这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点局部相关定理的根底。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。
积分局部：
一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的根底。对于不定积分，我们主要掌握它的`计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯穿，掌握各种常见形式函数的积分方法。纯熟掌握不定积分的计算技
巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要略微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分根本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进展计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一局部的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进展一些简单的计算就可以了。
会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一局部题目的综合性往
往比拟强，对考生综合才能要求较高。
这就是高等数学整个学科从三种根本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合的应用。比方微分方程，它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分。而级数那么是对极限，导数和积分各种知识的综合应用。

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