例1 （04，4）设，
−−=100001010A AP P B 1−=，其中P 为3阶可逆矩阵，则22004
2A B
−=______________.
2004年线性代数参考题综述
李永乐
今年线性代数共有20个考题，但数学一与数学二有4个题完全一样，另一题的题型仍是一样的.区别仅在方程组未知数的个数是n 与4，而数学三与数学四有一个题完全一样，实际上有14个不同的考题，所涉及的知识点有：
含参数的3阶、4阶及n 阶行列式的计算，通过矩阵方程转换到抽象行列式的计算.
矩阵方幂的计算（涉及相似、分块、对角等）、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB = 0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.
含参数向量的线性表出、由矩阵秩判断向量组线性相类.
齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的判定与求法.考研数学一二三区别
求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.
二次型的秩
纵观04年考题，难度上比03年略有下降，要重视对基本概念、基本方法及原理的考核，注重知识点的衔接与转换，试题的灵活性有所加强.从阅卷反映出的问题看，有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌，有的考生计算能力实在太差，基本计算错误屈层出不穷，也有些同学在概念、原理的理解上有偏差，逻辑推理不严谨，…….下面通过对几个考题的分析，希望对05年考研同学如何复习线代能有所帮助.
[分析] 本题考查n 阶矩阵方幂的计算.
因为 −−= − −=
−10010110011001102
利用分块矩阵的方幂
=
n n n
B A B A 0
000
易知
−−= −−=10001000110000
10102
2A 从而
E A A ==1002
22004)(那么，由AP P B 1
−=有
P A P AP PP A P AP P AP P B 2111112)())((−−−−−===
因此 E EP P P A P B
===−−1200412004
故
−= −−= =−1000300031000100012100010001222004
A B
例2 （04，）设矩阵
，矩阵B 满足12
=100021012A E BA +=**2ABA ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 |B |=_____________.
[分析] 由于
，
易具本题 |A | = 3，用A 右乘矩阵方程的两端，有
E A A A AA ||**==A B E A A B AB =−⇒+=)2(363
3|||||2|33
A B E A =−⇒又因
1
1
0000101
0|2|=−=−E A ，故 |B |=91
[评注] 填空题难度不大，计算量也不会太大，主要考查考生对基本概念、定义、公式、基本定理、基本性质和基本方法的识记、理解、掌握和简单运用.同时考查快捷准确运算能力和简单推理能力.鉴于此考生在复习时要注重基础，对基本运算要正确熟练.要提高运算能力，不能华而不实，浮燥.
例3 （04，）设A ，B 为满足AB = 0的任意两个非零矩阵，则必有 12
（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （B）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 （C）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关
（D）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 [ ]
[分析] 设A 是矩阵，B 是n m ×s n ×矩阵，且AB = 0，那么
n B r A r ≤+)()(
由于A 、B 均非零矩阵，故n B r n A r <<<<)(0,)(0. 由秩的列秩，知A 的列向量组线性相关. A A r =)(由秩的列秩，知B 的行向量组线性相关. B B r =)(故应选（A）
例4 （04，）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 3
2
（A）当|A | = a 时，|A | = a 0≠a （B）当|A | = a 时，|B | = a 0≠a （C）当|A |时，|B | = 0 a ≠（D）当|A | = 0时，|B | = 0
[分析] 所谓矩阵A 与B 等价，即A 经初等变换得到B ，而A 与B 等价的充分必要条件是A 与B 有相同的秩.
经过初等变换行列式的值不一定相等，也不一定是相反数.例如，若把矩阵A 的等1行乘以5得到矩阵B ，那么A 与B 等价，而|A | = a 时，|B | = 5a ，可知（A ）与（B ）均不正确.
若|A |，说明，而|B | = 0说明r a ≠n A r =)(n B <)(与A 、B 等价有相同的秩不符.（C）不正确.
当|A | = a ，秩，故秩n A r <)(n B r <)(，那么|B | = 0，即（D）正确. [评注] 选择题主要用于考查考生对数学基本概念、基本方法的掌握程度以及比较、判别能力.还可以用于鉴别考生易于出现的方法和概念性错误.
例3把AB = 0、矩阵的秩、向量组的秩、向量组的线性相关性等概念串联、转换.例4把矩阵等价、行列式、矩阵的秩衔接起来，只有平时重视对概念的复习，多从不同的角度不同的侧面进行思考，接口切入点多了做题才能顺手.
例 5 （04，3）设,
，试讨论当a , b 为何值时
T
T T b a b a a )2,2,1(,)3,2,1(,)0,2,1(321+−−−=−+==αααT )3,3,1(−=β（I）β不能由321,,ααα线性表示；
（II）β可由321,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；
（III）β可由321,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解 设有效使得
321,,k k k βααα=332211,,k k k （≠）
记A = (321,,ααα).对矩阵（A 、β）施以初等行变换，有
−+−−−+−=3332302
22111)(b a a b a A β −+−−−→3112300111b a a b
a
−−−→011000111b a b
a
（I）当a = 0, b 为生意常数时，有
−−−→111000001
11)(b
A β
可知)()(βA r A r ≠，故方程组（≠）无解，β不能由321,,ααα线性表示. （II）当，且时，0≠a b a ≠)()(βA r A r ≠=3，故方程组（≠）有惟一解
0,1
,11321==−
=k a k a k ，
则β可由321,,ααα惟一地线性表示，其表示式为
2
11)1
1(a a
a a +−=β
（III）当0≠=b a 时，对)(βA 施以初等行变换，有
−−→010001
10001)(11a A β
可知)()(βA r A r == 2，故方程组（≠）有无穷多解，其全部解为
c k c a k a k =+=−
=321),1
(,11，其中c 为任意常数.
β可由321,,ααα线性表示，但表示不惟一，其表示式为
3
21)1(1
1ca a c a
a a
+++−=β.
例6 （04，）设矩阵的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.
1
2
−−−=51341321a A 解 A 的特征多项式为
5
3
34
21
11
−−−−−−λλλa
53
04
21
12−−−−−−=λλλ
λa
5
30411
1
1
)2(−−−−−−=λλλa
53
0130111
)2(−−−−−−=λλλa
. )3188)(2(2
a ++−−=λλλλ若2=λ是特征方程二重根，则有，解得.
03181622
=++−a 2−=a 当时，A 的特征值为2,2,6，矩阵
的秩为1，故2−=a
−−−−=−3213213212A E 2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.
若2=λ不是特征方程的二重根，为完全平方，从而
，解得
a 31882
++−λλ16=318+a 32−
=a .
当
32
−=a 时，A 的特征值为2,4,4，矩阵
−−−=−11301323432A E 的秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.
[评注] 解答题主要考查考生对数学的基本原理、方法、公式掌握和熟练运用的程度，证明题主要考查考生对数学主要定理、原理的理解和掌握程度.
例5线性表出是常规题，方法是基本的.例6考查含参行列式的计算，特征值、相似对角化的理论，综合性较强，从卷面看各种错误（计算的、概念原理的、逻辑上的）还是很多的，我们应看出即使是解答
题线性代数题难度适中，正确复习之后完全能拿下，但概念性强，有一定的综合性与灵活性因此复习时要注意对概念的理解，对方法的把握，注意知识的内在联系，要确保基本计算准确熟练.
与其它学科相比，数学成绩的方差历来较大，学数学要靠积累、消化、循序渐进，愿有志者抓紧抓细抓早.
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