2016年高考数学新课标Ⅰ（文）试题及答案解析
（使用地区山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【2016 新课标Ⅰ（文）】1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )
A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}
【答案】B
【解析】取A，B中共有的元素是{3,5}，故选B
【2016 新课标Ⅰ（文）】2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( )
A．-3 B．-2 C．2 D． 3
【答案】A
【解析】(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i，依题a-2=1+2a，解得a=-3，故选A
【2016 新课标Ⅰ（文）】3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红和紫的花不在同一花坛的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设红、黄、白、紫4种颜的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=，故选C
【2016 新课标Ⅰ（文）】4．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知，则b=( )
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】由余弦定理得：5=4+b2-4b×， 则3b2-8b-3=0，解得b=3，故选D
【2016 新课标Ⅰ（文）】5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由直角三角形的面积关系得bc=，解得，故选B
【2016 新课标Ⅰ（文）】6．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为( )
A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+) C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–)
【答案】D
【解析】对应的函数为y=2sin[ 2(x-)+]，即y=2sin(2x–)，故选D
【2016 新课标Ⅰ（文）】7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个
圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，
则它的表面积是( )
A．17π B．18π C．20π D．28π
【答案】A
【解析】依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积
，解得R=2，表面积，故选B
【2016 新课标Ⅰ（文）】8．若a>b>0，0<c<1，则( )
A．logac<logbc B．logca<logcb C．ac<bc D．ca>cb
【答案】B
【解析】取特值a=1，b=0.5，c=0.5，可排除A，C，D，故选B
【2016 新课标Ⅰ（文）】9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )
【答案】D
高考满分900【解析】当0≤x≤2时，y'=4x–ex，函数先减后增，且y'|x=0.5>0，最小值在(0,0.5)内.
故选D
【2016 新课标Ⅰ（文）】10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，
则输出x，y的值满足( )C
A．y=2x B．y=3x
C．y=4x D．y=5x
【答案】C
【解析】运行程序，循环节内的n，x，y依次为
(1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x=1.5，y= 6，
故选C
【2016 新课标Ⅰ（文）】11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，
α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，
则m，n所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】平面A1B1C1D1∩平面CB1D1= B1D1与m平行，平面CDD1C1∩平面CB1D1= CD
1与n平行，所以m，n所成角就是B1D1与CD1所成角，而ΔCB1D1是等边三角形，则所成角是60°，故选A
【2016 新课标Ⅰ（文）】12．若函数在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．[-1,1] B．[-1,] C．[-,] D．[-1,-]
【答案】C
【解析】，，
依题f'(x)≥0恒成立，即acosx≥恒成立，而(acosx)min=-|a|，，故选C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
【2016 新课标Ⅰ（文）】13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x= .
【答案】
【解析】依题x+2(x+1)=0，解得x=
【2016 新课标Ⅰ（文）】14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)= .
【答案】
【解析】依题θ+是第一象限角，cos(θ+)=，tan(θ-)=- tan(-θ)
=- tan[-(θ+)]=- sin[-(θ+)]/cos[-(θ+)]=- cos(θ+)/ sin(θ+)=
【2016 新课标Ⅰ（文）】15．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，则圆C的面积为 .
【答案】4π
【解析】圆方程可化为x2+ (y-a)2=a2+2，圆心C到直线距离d=，由d2+3=a2+2，
解得a2=2，所以圆半径为2，则圆面积为4π
【2016 新课标Ⅰ（文）】16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
【答案】216000
【解析】设生产A、B两种产品各x件、y件，利润之和是z＝2100x+900y，
约束条件是，即
作出可行域四边形OABC，如图.
画出直线l0：7x+3y =0，平移l0到l，
当l经过点B时z最大，联立10x+3y=900与5x+3y=600
解得交点B(60,100)，所以 zmax=126000+90000=216000.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.
【2016 新课标Ⅰ（文）】17.（本题满分12分）
已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求{bn}的前n项和.
【解析】(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 …2分
通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列.…9分
所以{bn}的前n项和Sn= …12分
【2016 新课标Ⅰ（文）】18.（本题满分12分）
如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，
连接PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明G是AB的中点；
(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC
内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
【解析】(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．
又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE． …3分
又PG 平面PDE，∴AB⊥PG．依题PA=PB，∴G是AB的中点．…6分
(Ⅱ)在平面PAB内作EF⊥PA（或EF// PB）垂足为F，
则F是点E在平面PAC内的正投影. …7分
理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴ PC⊥平面PAB． ∴EF ⊥PC
作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是点E在平面PAC内的正投影.…9分
连接CG，依题D是正ΔABC的重心，∴D在中线CG上，且CD=2DG．
易知DE// PC，PC=PB=PA= 6，∴DE=2，PE=．
则在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面积S=2．
所以四面体PDEF的体积. …12分
【2016 新课标Ⅰ（文）】19.（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
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