《小学数学疑难问题研究》
第一章 有关“数与代数”的疑难问题
第一节 数的认识与大小比较
A1—1 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？
【自然数】 “数”（shù）起源于数（shǔ），一个、一个地数东西。由此而产生的用来表示物体个数的数
一，二，三，……
就叫自然数。零表示没有东西可数，零也是一个自然数。“一”是自然数的单位。任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。
【自然数的产生】 自然数概念的产生，经过了漫长的岁月。首先，产生的是“有”、“无”的概念。原始人在打猎、捕鱼或采集果实时，对于猎物或果实的有、无是最为关心的。然后，“有”的概念进一步分化为“多”和“少”。为了比较多少而使用一一对应的方法时，必然会遇
到“同样多”的物体集合（即等价集合）。等价集合被归入一类，并且从中选出一个大家熟悉的集合来表示这类集合的共同性质。其实质就是用具体的集合形象地表示数目的多少。例如，用一个人的耳朵的集合作为一类等价集合的代表。逐渐地，这类等价集合被称为“耳”。最后，脱离具体的事物集合，用专门术语表示一类等价集合的共同性质。于是，“耳”就演化为“二”。自然数“二”的概念就这样产生了。（图1—1）
图1—1
表示自然数的名词，许多都是从常见的实物演变而来的。如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”与波斯语的“手”相近。南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。这些事实都说明自然数的概念来源于实践。
【弗莱格—罗素的自然数定义】 1884年，德国数学家、逻辑学家弗莱格（F.L.G.Frege 1848—1925）在他的著作《算术基础》中，最先给出了自然数的定义。但这个成果当时少为人知。直至1902年，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素（B.A.W.Russell 1872—1970）重新给出这个定义。在他们作出的被后人称之为“弗莱格—罗素的自然数定义”中，将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集。” 能和有限集A建立一一对应的（即和A等价的）所有集组成的集称为“集A的基数”。记为。即
={B│B~A}
其中，~表示集的等价关系。为了使自然数的这个定义通俗易懂，有些用于教师教育的《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”。以往的人教版小学数学教科书在教学“5的认识”时，首先引导小学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等不同的物体集合。然后，引导小学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”。“五”就是这些物体集合的共同性质。从而初步形成自然数“五”的概念。可见，小学生对自然数的基数意义的 认识，和弗莱格-罗素的自然数定义实质上是一致的。
【皮亚诺公理】 为了建立自然数的公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺（G .Peano 1858—1932）在1891年给出了关于自然数的五条公理：
①0是一个自然数。
②0不是任何其它自然数的继数。
③每一个自然数a都有一个继数。
④如果自然数a与b的继数相等，则a、b也相等。
⑤（数学归纳法公理）如果一个由自然数组成的集合S包含0，并且当S包含某一个自然数a时，它一定也含有a的继数，那么S就包含全体自然数。
皮亚诺的这一公理系统被称之为“皮亚诺公理”，它标志着数学分析算术化运动的终结。
参考书
[1]《中国大百科全书 数学》中国大百科全书出版社1988年11月第1版，P220；321—322；
461；510。
[2]《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—331。
[3]《逻辑与小学数学教学》金成梁著，北京师范大学出版社2001年9月第1版，P19—20。
A1—2 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？
【基数】 当自然数0，1，2，……用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”这里的“5”就是基数。
【序数】 当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。
上体育课时排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，那么这个“35”既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。
在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境（即上下文）来判定。
A1—3 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？
【正整数】 一个、一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，……也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称自然数。
【负整数】 为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引用了正数与负数。如“盈利5元”用“+5元”表示，“亏损5元”就用“－5元”表示。
这种在一个数前添加的表示它的“正”、“负”的符号叫做“性质符号”。添加了性质符号“+”或“－”的数分别称为“正数”与“负数”。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“－”的正整数叫做负整数。
【整数】 正整数、零与负整数统称“整数”。（如图1-2）
什么是自然数负整数 正整数 正整数
……，－3，－2，－1，0，+1，+2，+3，…… 整数 零
自然数 负整数
整数
图1—2
【皮亚诺的整数系】 皮亚诺在构造了自然数系的公理后，又构造了整数系。
首先，用自然数偶（m，n）表示整数：
用（m+n，m）表示正整数n；
用(m，m)表示数0；
用（m，m+n）表示负整数－n。
第二步，定义数偶的加法、乘法与大小关系：
（m,n）+(k,l)=(m+k,n+l);
(m,n) · (k,l)=(mk+nl,ml+nk);
(m,n)＜(k,l)当且仅当m+l＜n+k.
可以证明：经过这样定义的整数集满足加法与乘法的结合律、交换律和乘法对加法的分配律。它包含有数0，对任何整数n，有
0+n=n
还包含了单位元素1，对任何整数n，有
1·n=n
对于任何整数m、n，方程m+x=n总有唯一解。并且整数集关于“＜”构成一个有序集。
参考书
《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—309。
A1—4 为什么以前规定“零不是自然数”，现在又规定“零是自然数”？
1891年，意大利数学家G·皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的第一个公理就是“0是一个自然数”。可见，在欧美各国的学术界，这样的观点处于主导地位。
1949年中华人民共和国成立后，欧美的一些主要国家联合起来，对我国实行经济封锁。导致我国与原苏联订立“中苏友好互助同盟条约”，并且提出“向苏联学习”的口号。许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本编译的。M·K格列本卡著高等学校教学用书。《算术》P6中明确指出：数（shǔ）树上的苹果时，可能某一棵树上一只苹果也没有。这时我们就说这棵树上的苹果数目为零。零就是没有东西可数。零作为一个数，不属于自然数。
于是，“零不是自然数”的判断在中小学数学课程中广为传播。
20世纪80年代以来，为了实行对外开放，便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-29）第311页，规定：自然数包括零。随后，在进行中小学数学教材的修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准，物理科学和技术中使用的
数学符号》中，将自然数集记为N=｛0，1，2，3，…｝。而将原自然数集称为非零自然数集
N+（或N*）=｛1，2，3，…｝
自然数集扩充后，自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之发生变化，如自然数加法与乘法的定义中要去掉原有的“非空”二字，对于与自然数有关的命题的论证，应随自然数扩充后作相应调整。如数学归纳法证明的步骤应是：
1°验证n=0时，命题成立；
2°假设n=k－1时命题成立，证明n=k时命题仍然成立。
从而与G·皮亚诺1891年给出的关于自然数的公理⑤一致。
科学概念的定义，它的内涵与外延的明确界定，本来就是一种人为的规定。它可以随着科学、技术的发展而由权威科学家的体重新定义。不久前，天文学家对“行星”的重新定义使得冥王星不再是我们这个太阳系的九大行星之一。
【自然数的分类】 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也将发生变化（如图1—3）：
质数（有且只有2个约数）
合数（有3个或3个以上的约数）
1（只有1个约数）
0（0以外的任何数都是它的约数）
参考书
高等学校教学用书《算术》，M·K·格列来卡著，商务印书馆，1957年4月5日版
A1—5 “自然数集”、“自然数列”和“扩大的自然数列”有哪些区别和联系？自然数列有哪些
基本性质？
【自然数集】 所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。
【集合概念】与【非集合概念】“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。
作为练习，试区分下面的概念中，哪些是集合概念，哪些是非集合概念：
（1）到A、B两点距离相等的点；
（2）到A、B两点距离相等的点的轨迹；
（3）中国数学家；
（4）中国数学协会。
【自然数列】 将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列，
0，1，2，3，…
这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”和“自然数集”都必须包括所有的自然数，但它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的顺序，如0，2，1，3，……，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。
【自然数列的性质】 自然数列有以下性质：
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