数的认识——小学数学数概念教学的认识与思考
数的认识——⼩学数学数概念教学的认识与思考
⼀、概念解读
数的认识，⼀直是⼩学数学中的重要内容之⼀。⾃然数、整数、⼩数、分数、百分数等，
都是⼩学数学中最基本的概念，这些概念是学⽣今后构建“概念⽹络图”、学习数的运算、研究数
量关系的重要基础，是⼩学数学中的核⼼内容。数概念是数学教学中最基本的概念之⼀。⾃然
数的产⽣，起源于⼈类在⽣产和⽣活中计数的需要。⾃然数的形成包括两个⽅⾯：⼀是0-9这10
个数字的形成，⼆是计数单位的建⽴。随着⼈类社会实践的需要，数的概念逐步形成和不断发
展。根据数系的形成过程可知，数概念的形成过程是⼀个数概念外延的多次扩张过程。在⼩学
数学中，在⾃然数集合中添加负整数就得到了整数，在整数集合中添加分数就得到了有理数，
在有理数集合中添加⽆限⽆循环⼩数就得到了实数。
⼩学阶段对数概念的认识在本质上应从数的扩充⾓度来理解——
分数的扩充⼀般有两种需要：⼀是分东西的过程中，需要对⼀个物体进⾏切割与分配时，
整体中的“部分”⽆法⽤⾃然数来表⽰，就需要有刻画“部分”的⽅式⽅法；⼆是计算过程中，对除
法算式⽆法⽤⾃然数表⽰计算的结果时，就需要有刻画这类除法运算结果的⽅式⽅法。
⼩数的产⽣有两个前提；⼀是⼗进制计数法的使⽤，⼀是分数概念的完善。⼩数的产⽣有
两个动因：⼀是⼗进制计数法扩展完善的需要，⼆是分数书写形式的优化改进。⼩数的出现标
志着⼗进制计数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统⼀。
负数的产⽣。负数是⼀个与正数的意义相反的数学概念。它的形成源于对⽣活中完全相反
的事物数量的刻画。如进与出，上与下，进与退等。
⼆、教材内容结构
内容册次
整数的认识认识10以内的数认识20以内的数⼀上认识100以内的数⼀下认识万以内的数⼆下认识多位数四下负数的初步认识五上因数和倍数最⼤公因数和最⼩公倍数五下
（百）分数和⼩数的认识分数的初步认识（把⼀个物体平均分）三上分数的初步认识（把⼀个整体平均分）三下⼩数的初步认识三下⼩数的意义和性质五上分数的意义和性质五下认识百分数六上
教材把认识整数的教学分成20以内的数，100以内的数，万以内的数，多位数，简单的负数等五个阶段，循序渐进，螺旋上升，安排在⼀到五年级陆续进⾏。分数和⼩数的教学分成两段进⾏，交叉编排。第⼀段学习分数、⼩数的初步认识。把初步认识分数放在前⾯，初步认识⼩数就有⼗分之⼏的分数作⽀撑了。第⼆段系统学习⼩数和分数的知识。分数、⼩数是数概念的⼀次重要扩展。⽆论是在意义、书写形式、计数单位、计数法则等⽅⾯，还是在学⽣的⽣活经验⽅⾯，分数、⼩数都与⾃然数有较⼤不同。百分数由于在实际⽣活中的特殊性，教材将百分数作为专门的⼀段内容学习，安排在六年级上册。百分数是⼀种特殊的分数，表⽰⼀个数是另⼀个数百分之⼏的数都是百分数。⾃然数、⼩数和分数虽然表征形式不同，但其本质都是“计数单位与其个数乘积的累加”。
三、实践之思
1.充分经历，关注过程
⽆论是整数、分数、⼩数，还是负数的产⽣与发展，都是⼈类⽣活实践的总结。教材根据数的产⽣与发展特点，⼗分注意创设现实情境或操作活动，引导学⽣经历从具体情境抽象出数的过程，逐步体会数的含义，建⽴正确的数概念。
（1）整数概念的形成过程
整数的计数⽅法是⼗进制计数法，有了数位和0-9这10个数字，就能表⽰出所有的整数。因此，数字与数位是两个⼗分重要的概念。以⼀年级认识1-5教学内容为例，让学⽣在具体情境中数物体的个数，把物体的个数与相应的数量建⽴联系，初步体验物体的个数可以⽤数量表⽰；接着，⽤数珠表⽰物体的个数，体会相应颗数的数珠表⽰⼀类等价集合的元素的个数；在此基
础上，把数珠表⽰抽象成⽤数字符号表⽰。这样的呈现⽅式，突出了“数是对数量的抽象”。要表⽰更⼤的数，数位概念的建⽴就显得尤为重要。我们可以通过引导学⽣摆⼩棒、⼩⽅块、计数器、算盘等认数⼯具的操作活动让学⽣理解位值原则。（同⼀个数字在不同的数位其意义不同，它表⽰的是不同计数单位的个数）以认识11-20各数为例，通过数⼩棒、捆⼩棒、回顾反思等活动，教学⼀和⼗，以及10个⼀是1个⼗。以12为重点，教学⽤⼩棒表⽰⼗⼏的⽅法，体会⼗⼏就是⼀个⼗和⼏个⼀合起来的数。最后，围绕19根添上1根是多少根，经历得出20的过程，初步理解20的含义，渗透“满⼗进⼀”的思想。例2的教学可以把⼩棒表⽰的数过渡到计数器上，让学⽣初步了解计数器上的个和⼗的意思，进⼀步理解11-20各数的组成，体会不同数位上的数有不同的计数单位。然后，对照着计数器上的数珠写数，赋予数字的具体含义，形成数的概念。
（2）展开⼩数概念的建构过程
⼩数概念的学习，⽆论是三年级的直观认识，还是五年级的认识⼩数的意义，教材都是从学⽣熟悉的现实背景⼊⼿，再通过去情境化，形成概括化的认识。以五年级认识⼩数的意义例1为例，可安排三个层次组织教学。第⼀个层次，通过分⽶改写成⽶的活动，唤起已有的⼀位⼩数经验，第⼆个层次，认识两位⼩数。⾸先，在厘⽶改写成⽶的探索活动中，展开两位⼩数的推理与思考的过程。接着，尝试4厘⽶，12厘⽶各是⼏分之⼏⽶，迁移经验，深化理解，最后，看着直尺，独⽴表⽰两位⼩数。第三层次，认识三位⼩数。延续前⾯的情境，压缩推理过程。在学⽣获得丰富认识的基础上，揭⽰⼩数的意义。这样，可以帮助学⽣⾃主建构⼩数的概念。
（3）展开分数意义的教学过程
分数教材分三个阶段编排：第⼀阶段三上，把⼀个物体、图形平均分成若⼲份，其中⼀份或⼏份是这个物体、图形的⼏分之⼀或⼏分之⼏。第⼆阶段三下，把由若⼲个同类物体组成的⼀个整体平均分成⼏份，⽤⼏分之⼀或⼏分之⼏表⽰这个整体⾥的⼀份或⼏份。这是认识分数的⼀次发展。第三阶段，五下教学分数的意义和性质。以五下分数的意义和性质单元例1为例，可以分四个层次展开：⼀是呈现学⽣曾经经历过的活动，让学⽣⽤分数表⽰图中涂⾊的部分，激活已有的经验；⼆是引进单位1，⽤单位1统摄被平均分的对象；三是⽐较各个具体分数的含义，抽象、概括分数的定义；四是介绍分数单位，体会分数是由⼏个相同分数单位累加的结果。
2.加强感悟，发展数感
在⼉童步⼊⼩学校门的第⼀学期，教材编排组织他们学习20以内各数的认识。这是⾃然数概念中最基础的知识之⼀，是建⽴数感的开始，也是认数教学的第⼀阶段。到了第⼆学期，教材将认数范围从20以内扩展到100以内，这是认数教学的第⼆阶段。到了⼆年级，认数范围⼜扩展到万以内。到了四年级学习⼤数的认识。我们在数的认识的教学过程中，需要多设计⼀些有助于学⽣形成数感的情境和活动，促进学⽣逐步发展数感。例如：数数活动是学⽣形成数概念的基础。通过⼀个⼀个的数，学⽣知道了某个集合的数量，通过2个2个地数或5个5个地数，学⽣丰富了对数的认识。其次，数数活动中蕴含着丰富的数学思想。在数数时，特别是点数时，学⽣必然⽤到⼀⼀对应的原则，即每说⼀个数必然对应⼀个物体。⽽⼀⼀对应作为数学中重要的数学思想，它能够建⽴起事物与事物之间的对应关系。同时要重视学⽣的操作活动体验。通过多种感知、操作在活动中不断体验、发现、创造。
我们还可以在富有挑战性的数学活动中发展数感。如认识百及百以内的数⼀课，我们可以进⾏四次数⼀数活动。初数百以内的数，了解学⽣已有的数数经验，可以为学⽣提供数量不同的学具，如芸⾖、⼩正⽅体、⼩棒、铅笔等。再数百以内的数，感受按计数和数数策略的多样化。当发现学⽣数数的⽅法只停留在1个1个的数，⽽且数过后仍把学具堆成⼀堆，也就是数数经验和⽅法没有发展时，我们可以让学⽣的思维从⽆疑到有疑，“能不能想个好⽅法，让别⼈⼀看就知道是多少”，在智慧的碰撞中，多种数数的⽅法和策略也随之出现了。三数百以内的数，感受数之间的关系。当学⽣数出⾃⼰的学具不够100或⽐100多时，可以追问：怎样才能得到100个？学⽣说出不够100再加⼏个，和⽐100多⼏个
就去掉⼏个时，不仅感受到了百以内数的联系，⽽且体验了递加和递减的过程，同时巧妙地建⽴了百这个数位。四数百以内的数，体会数位与计数单位间⼀⼀对应的关系。数感是⽇积⽉累的，需要在具体的认数活动中逐步形成和发展。
3.结构⼀体，⽣长延伸
自然数包括小数吗
关于数概念的教学，要注重知识的⽣长点与延伸点，把每堂课教学的知识置⾝于整体的知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学⽣感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同⾓度加以分析、从不同层次进⾏理解。⽐如除法概念：我们可以做⼀张思维导图。

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