无限集合的一一对应
研究性学习论文1
无限集合的一一对应
高一15张韧
周老师的论文样板我读不了，所以只能按初中时数学建模的方法（想到哪儿写到哪儿）写这篇论文。我无法通晓前人的研究成果——不到资料，所以只好自己写。不过这样也好，免得别人说我抄袭。或许日后我会发现，我想到的这些方法早就有了。
预备知识：
身为高一学生，什么叫无限集合、什么叫一一对应已不需我多谈。什么叫无限集合的一一对应呢？
建立了集合的概念后，人们就考虑为集合比较大小。“数字”、“多少”本是抽象的概念，但因为我们用得太多了，就不觉得它抽象了。仔细想想，谁见过“3”？我们见到的都是形象的“三条狗”、“三个人”的集合。那我们为什么不称它们为“四条狗”、“四个人”呢？因为“三条狗”、“
三个人”间可以建立一一对应，而“三条狗”和“四个人”间却怎么也建立不起一一对应。
把这种思想应用于无限集，我们就可以建立比较无限集合“大小”的法则：如果两个无限集合间可以建立一一对应，我们就说这两个集合具有相同的的基数；如果无限集A可以一一对应于无限集B的一个子集，我们就说集合A的基数不大于集合B的基数。注意，这里是“不大于”，而不是“小于”，因为有可能A既能对应B的一个子集，又能对应B，这时A和B的基数相同。这当然是可能的，下文我会举例。我们用希伯来字母1（读作“阿列夫”）来表示自然数集的基数，用2来表示实数集的基数。
一、自然数集和整数集的一一对应
如果一个无限集合中的元素可以被不重不漏地放在一个数列里，因为数列是“建立在自然数集上的函数”，集合本身和自然数集都不重不漏，又是“函数”，就一定能与自然数集建立一一对应。
上一段话可能有些难以理解，通俗地解释一下：如果一个无限集中的元素可以按照一定规则排起队来：队列的第几个是谁都可以计算出来，所有的元素都排进去又没有重复，那么
我们就让队列的第一个元素和自然数集中的1对应，第二个元素和自然数集中的2对应……就建立起了一个自然数集和这个集合的一一对应。
给整数排队：0，1，-1，2，-2，3，-3…与自然数n对应的整数是
所以，整数集的基数是0。看，自然数集可以和整数的子集（自然数集本身）建立一一对应，又可以和整数集建立一一对应。
二、自然数集和偶数集的一一对应
如果一个无限集合A能与集合B建立一一对应，而B又能与C建立一一对应，那么A就一定能与C建立一一对应。因为A的基数和B自然数包括小数吗的基数相等，B的基数和C的基数相等，A的基数就一定和C的基数相等。
所以，如果整数集可以和偶数集建立一一对应，偶数集就一定可以和自然数集建立一一对
应。设z是整数，dz是它对应的偶数。有
，
一一对应。所以，偶数集的基数为0。
三、自然数集（不包括0）和自然数集（包括0）的一一对应
如下排列：
0，1，2，3，4…
可见，自然数集（包括0）的基数也是0。
四、自然数集和有理数集的一一对应
无法想象吧，我整整想了20分钟呢！方法如下：
第一步，将所有的有理数列成下表：
0
1/1
-1/1
1/2
-1/2
1/3
-1/3
1/4
-1/4
1/5
-1/5
…
2/1
-2/1
2/2
-2/2
2/3
-2/3
2/4
-2/4
2/5
-2/5
…
3/1
-3/1
3/2
-3/2
3/3
-3/3
3/4
-3/4
3/5
-3/5
…
4/1
-4/1
4/2
-4/2
4/3
-4/3
4/4
-4/4
4/5
-4/5
…
…
因为所有的有理数都可以表示成a/b的形式（），所以上表涵盖了所有的有理数。
第二步，把不是既约分数的分数划去。
0
1/1
-1/1
1/2
-1/2
1/3
-1/3
1/4
-1/4
1/5
-1/5
…
2/1
-2/1
2/2
-2/2
2/3
-2/3
2/4
-2/4
2/5
-2/5
…
3/1
-3/1
3/2
-3/2
3/3
-3/3
3/4
-3/4
3/5
-3/5
…
4/1
-4/1
4/2
-4/2
4/3
-4/3
4/4
-4/4
4/5
-4/5
…
…
有了这两步，就保证了上表不重不漏地涵盖了所有的有理数。
第三步，按下图所示的顺序将上表中的数进行排列。
0
1/1
-1/1
1/2
-1/2
1/3
-1/3
1/4
-1/4
1/5
-1/5
…
2/1
-2/1
2/2
-2/2
2/3
-2/3
2/4
-2/4
2/5
-2/5
…
3/1
-3/1
3/2
-3/2
3/3
-3/3
3/4
-3/4
3/5
-3/5
…
4/1
-4/1
4/2
-4/2
4/3
-4/3
4/4
-4/4
4/5
-4/5
…
…

跳过被划去的数，将有理数按顺序排列：
0，1/1，-1/1，2/1，1/2，-2/1，3/1，-1/2，-3/1，4/1…这样，我们就将所有的有理数按顺序不重不漏地排列起来了。
可见，有理数集的基数也是0。
五、自然数集和实数集不能建立一一对应
没想到，连有理数集都能和自然数集建立一一对应，那么我们能不能到一种方法，把所有实数按顺序排列起来，使实数集也和自然数集一一对应呢？即证明0=1?
很遗憾，答案是否定的。我们甚至可以证明自然数集不能和（0，1）的实数集建立一一对应。用反证法。我们假定一列数x1，x2，x3，x4…穷尽了（0，1）的实数。我们用aij表示xi第j个小数数位上的数字，显然，0≤aij≤9，aij∈N。我们只要构造一个数
y=0. b2b2b3b4…使bi≠aii即可。因为b1≠a11，所以y的小数点后第一位与x1的小数点后第一位不同，所以y≠x1，同理可证y≠x2、y≠x3…所以y不在此排列之中，而y又确确实实是一个（0，1）的实数，所以假设不成立， 0≠1。
六、实数集和（0，1）的实数集的一一对应
我初三的时候听别人讲过这样一种方法，能将（0，1）的实数和R建立一一对应。每一个实数可以对应数轴上的一个点，而（0，1）的实数可以对应长度为1的线段上除0，1外的所有的点。请看下图：
处于上面的线段表示（0，1）的实数，（0，1两点已挖空）下面的直线表示数轴。为显示一般性，我没有在数轴上绘制原点。
方法：在数轴上方绘制一半圆，半圆直径平行于数轴，c为圆心。半圆直径即上方线段，为结构清晰，我将其移开。半圆上的每一点向线段做射影，可得到半圆上的点与线段上的点的一一对应。下面建立半圆上点与直线上点的一一对应。
对于直线上的任意一点a1，连结a1与c与半圆交于b1，b1就是a1的对应点。对于a2，连结a2与c与半圆交于b2，b2就是a2的对应点……可证，这是一一对应。证法与本论文无关，不加细表。
七、实数集和正实数集的一一对应
对于任意实数r，它所对应的正实数是，对于任意正实数p，它所对应的实数是。
八、实数集和CR{0}的一一对应
一个包括0的实数集和一个不包括0的实数集能不能建立一一对应呢？请回想“三”，只要让两集合中的非整数集和负整数集都对应，实数集中的自然数集（包括0）和CR{0}中的自然数集（不包括0）一一对应就行了。姑且把这种方法叫“错位”，下一个例子中，我将会用到
形状和面积，面积四周的“边界数字”如果对应不上，就用这种“错位”方法对应上，那时我就不再加说明了。
九、实数集和实数对集的一一对应
实数集就是数轴上点的集合，实数对集就是平面直角坐标系内点的集合，它们俩之间怎么可能一一对应？所有人都告诉我不可能，我冥思苦索了40分钟才有了点眉目。
用“六”的方法，将实数集对应成（0，1）的实数集，将平面直角坐标系对应成一个1×1的正方形。我们将（0，1）的实数都转换成四进制的无限小数，如（0.5）10可以对应成（0.20000…）4，（0.33333…）10可对应为（0.1111…）4。
设需要被对应成1×1正方形内点的四进制小数y=0. a1a2a3a4a5…其中0≤ai≤3，ai∈N。
左图为实数对集所对应的正方形。我们将其划分为四个部分S0、S1、S2、S3，如图所示。再将每个部分再划分为四个部分，如S0划分为S00、S01、S02、S03，再将每个部分划分为四个部分……
如果a1=0，y的对应点就在S0之内；如果a1=1，y的对应点就在S1之内……如果a1=0，a2=0，y的对应点就在S00之内，如果a1=0，a2=1，y的对应点就在S01之内……以此类推。因为我把所有（0，1）的实数都化成了四进制的无限小数，所以按此方法，所有的实数都能对应为一个确定位置的点，反之亦然。
可见，实数对集的基数是1。
十、连续统假设
证了这么多，您不难发现：无限集合的基数似乎不是0就是1，那么除了0和1外，无限集合还有别的基数吗？数学家们猜测没有了——这就是“连续统假设”。1938年和1963年，两位数学家分别证明了连续统假设在ZF公理系统下不可否定又无法证明——似乎这是一个公理。但有的数学家认为这个假设太让人不放心了，正在努力新的公理替代它。
附：
一、二、五、十参考《十万个为什么（新世纪版）——数学卷》
四由高亦斌帮助完善；八由马毅为帮助完善；
六、七方法并不是我自己想的，出处已不详。
9月26日解决全部问题，10月1日完稿。

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