第一章数
第一节自然数
一、自然数的概念
（一）
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10……这些数是自然数。我们最先学的数就是它们，大概因为这是很自然的事情，所以就把这些数称为自然数。
（从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。1949年以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3100－3102－93)《量和单位》(11－2.9)第311页，规定自然数包括0。）
自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。
想一想：0一定代表没有吗？如果不是，请举几例：0℃；0时：0号（以前在篮球运动中，有0号球员）
（二）自然数的意义
（1）基数：用来表示事物数量的自然数叫做基数。这时，1表示１个，5表示５个，0表示没有。
（2）序数：用来表示事物顺序的自然数叫做序数。这时，1表示第１，5表示第５，0：某种顺序中的一个，往往具有分界意义，如0时。
二、因数和倍数
（一）因数，倍数（这里的因数也叫约数）
（1）如果整数a乘整数b等于整数m，我们说m是a的倍数，也是b的倍数；a和b都是m的因数
（2）如果整数m能被整数a所整除，即m÷a＝整数，就说m是a的倍数，a是m 的因数。
想一想：一个自然数有多少个因数？有有限个。最小的是1，最大的是它本身。（二）因数
1、一个自然数有多少个因数？有有限个。最小的是1，最大的是它本身。
2、公因数
（1）公因数：几个自然数公有的因数叫这几个数的公因数。
（2）最大公因数：在公因数中最大的那个就叫做最大公因数。
（3）最小公因数呢？最小公因数一定是1。
（4）两个自然数有没有可能没有公因数呢？最少会有1这个公因数。除1外呢？可能没有。
３、互质：如果两个数，除1外，没有其他的公因数，则称这两个数互质。
４、求最大公因数的方法
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）更相减损法
（出自《九章算术》，原文是：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。）
①步骤
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。这个差称为“等数”
第三步：第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公因数。
②例子
例1、求98与63的最大公因数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减:
98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公因数等于7。
例2、求260和104的最大公因数。
解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。
把65和26辗转相减：
65－26＝3939－26＝1326－13＝13
所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，
即13×2×2＝52。
（4）辗转相除法
（三）倍数
１、一些数的倍数的特征
（1）2的倍数的特征：偶数都是2的倍数。
（2）3的倍数的特征：各位上的数的和是3的倍数，
（3）5的倍数的特征：末位是0或5
（4）4的倍数的特征：后两位能被4整除
（5）6的倍数的特征：是3的倍数的偶数
（6）7的倍数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
例如，判断133：13－3×2＝7，
（7）8的倍数的特征：后三位能被8整除
（8）9的倍数的特征：各个位上的数相加，能被9整除
（9）11的倍数的特征：所有奇数位上数的和减去偶数位上数的和是11的倍数（包括0）
（10）13的倍数的特征：去掉个位数后的数加上个位数的4倍，能被13整除。
例如：143：14＋3×4＝26＝13×2
（11）14的倍数的特征：7的倍数中的偶数
（12）15的倍数的特征：3的倍数中末位为0或5的
（13）16的倍数的特征：后四位能被16整除的
（14）17的倍数的特征：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（15）18的倍数的特征：9的倍数中的偶数.
★能被a和b整除的数，一定能被ab整除。
２、一个自然数有多少个倍数？
0倍，1倍，2倍，3倍，…………；共有无数个
其中，最小的是0，除0外，最小的是它本身。有没有最大的？没有
★0是任何数的倍数。
３、公倍数
（1）公倍数：几个自然数公有的倍数叫这几个数的公倍数。
（2）最小公倍数：几个自然数的公倍数有无数个，其中除0外最小的那个叫最小公倍数。
（3）最大公倍数呢？没有最大公倍数。
（4）两个或几个自然数有没有可能没有没有公倍数呢？没有可能
4、关于公倍数的两个性质：
（1）两个互质的数的最小公倍数，就是这两个的乘积。
（2）两个数是最小公倍数，等于这两个数的积除以它们的最大公因数。
5、求最小公倍数的方法：
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）两个数是最小公倍数，等于这两个数的积除以它们的最大公因数。
三、自然数的分类
（一）按能否被2整除分可分为奇数和偶数。
1、奇数：
（1）奇数：不能被2整除的数叫奇数。
（2）奇数的特征：个位数的奇数的数是奇数。
2、偶数
（1）偶数：能被2整除的数叫偶数。
（2）偶数的特征：个位数是偶数的数是偶数。
（3）特别注意：0是偶数。(2002年国际数学协会规定，零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以除以2，0照样可以，只不过，得数依然是0而已，但是不可以说它(指0)没有缩小)。
3.奇数、偶数的表示方法
（1）偶数：2n（n是整数）
（2）奇数：2n＋1或2n－1（n是整数）
（3）三个连续整数:
①n，n＋1，n＋2②n－1，n，n＋1③n－2，n－1，n
（4）三个连续奇数：
①2n＋1，2n＋3，2n＋5②2n－1，2n＋1，2n＋3③2n－1，2n－3，
2n－5
（5）三个连续偶数：
①2n，2n＋2，2n＋4②2n－2，2n，2n＋2③2n－4，2n－2，2n，
自然数包括小数吗4、偶数、奇数的一些性质
（1）两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；
（2）①偶数＋偶数＝偶数②奇数＋奇数＝偶数③奇数＋偶数＝奇数
④任意多个整数相加，如果这些数中有奇数个奇数，那么其和为奇数；如果有偶数个奇数，那么其和为偶数。
（3）①偶数－偶数＝偶数②奇数－奇数＝偶数③奇数－偶数＝奇数偶数－奇数＝奇数
④任意多个整数相加减，如果这些数中有奇数个奇数，那么其结果为奇数；如果有偶数个奇数，那么其和结果为偶数。
（4）①偶数×偶数＝偶数②奇数×奇数＝奇数③奇数×偶数＝偶数
④任意多个整数相乘，只要这些数中有一个偶数，其积就为偶数；如果全是奇数，其积就为奇数。
（二）按因数数个数分可分为质数、合数。（这里的因数在正整数范围内）
1、质数：一个大于1的自然数，只有1和它本身这两个因数的叫做质数。（质数也称作素数）
2、合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身还有其它的因数的叫做合数。
3、0，1：既不是质数也不是合数。（质数、合数是在大于1的自然数范围内的。所以1和0不在讨论范围内，既不是质数也不是合数。）
4、质数、合数的一些性质
（1）除2外，所有的偶数都是合数（但合数却并不一定是偶数，例如9）。
（2）除2外，所有的质数都是奇数（但奇数并不一定是质数，例如9）
（3）质数的个数是无限的，没有最大的质数。合数的个数是无限的，没有最大的合数。
（4）一个大于1的自然数有没有可能既不是质数又不是合数呢？不可能。
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