4认识分数
第四单元  认识分数
【知识结构】
数是小学数学学习的基本内容，数的认识在小学阶段首先是学习自然数，然后逐步扩充到分数和小数，最后简单学习有关负数的内容。其中，分数认识是小学阶段的重要内容，它比整数概念更为抽象，也是学生对数的认识的一次重大飞跃。
《数学课程标准（实验稿）》中，在数与代数部分中数的认识里，有关“认识分数”的具体目标设定为：第一学段是“能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写小数和简单的分数”；第二学段是“进一步认识分数，探索小数、分数等之间的关系，并会进行转化。会比较分数的大小”。
小学数学教材中有关“认识分数”主要分三个阶段学习，分别是：第一阶段在三年级上册的第十单元，是“一个物体（或图形）的几分之一、几分之几”，主要包括：认识几分之一和几分之几；知道分数的读、写方法；知道分数各部分的名称；会进行两个几分之一的分数或相同分母的几分之几的分数大小比较；借助“你知道吗”了解分数产生和发展的历史。
第二阶段在三年级下册的第八单元，是“若干个物体组成的整体的几分之一、几分之几”。主要包括：认识由若干个物体组成的一个整体；知道把一个整体平均分成几份，这个整体里的一份或几份可以用几分之一或几分之几这样的分数来表示；能解决一些最基本求一个整体的几分之一或几分之几是多少个物体的实际问题，如12个苹果的2/3是（ ）个苹果，12÷3×2 = 8个。基于理解分数的意义进行计算，而不是用六年级的分数乘法来解决。
第三阶段就在五年级下册的第四单元。附件：体系表
三年级和五年级上学期学习的小数的意义，即一位小数表示十分之几、两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几等知识，还有两量之间“倍”的关系，也是本单元的基础。
【育人价值】
育人价值主要包括：
1.有助于学生形成一定的关系思维方式。在学习本内容以前，学生认识的数都是整数（已认识到万以内）。根据以往的经验，学生在平时观察事物时只关注整体或每个部分，分一分的结果都是整数。而分数的本质是部分与整体的关系，需要关联地来看是几份（整体）
中的几份（部分）。这是原先学习整数时从没接触过的。借助于本内容的学习，首先为学生提供了一种新的思维方式，其次也让学生清楚明白了什么叫做关联，不是只看整体或只看部分，要关注于整体和部分之间的关系。
2.感悟数认识的过程性结构。“辨析比较材料——提炼抽取本质——归纳概括命名”，这样的“再创造”的学习方式，能够让学生了解知识产生的来龙去脉，经历数认识概念的“过程抽象”。在这个过程中，既可以帮助学生形成对分数概念内涵的丰富认识，又可以帮助学生提升比较分类、抽象概括的能力，还可以帮助学生提升准确、简练和严密的数学语言表述水平。
3.通过数学内在的结构关系与规律的揭示，产生主动探究的欲望和形成学习数学的内驱力。由于单个整体的分数认识、多个整体的分数认识及单位“1”的分数认识具有结构类同的关系，所以可以将单个物体的分数认识作为教学结构阶段，多个物体的分数认识和单位“1”的分数认识作为运用结构阶段，让学生在单个物体的分数认识中感悟并掌握这样的过程结构主动迁移到后续分数认识中，体验自主学习的快乐。
【学生困难】
把握形式与实质的关系，理解概念的本质。三年级分数表示部分与整体的关系（学生喜欢用“其中的”这三个字来表述分数意义），这个概念要清晰。而现在又要进一步：在学习假分数之前，分数的意义一般表达的是部分与整体的关系。通过认识假分数，知道分数不局限于部分与整体关系的范畴，还经常用来表示两个同类数量之间的关系。让学生体会分数能表示两个同类数量的关系，拓展了对分数意义的理解，有利于应用分数知识解决实际问题。P40试一试的两个问题的展开过程要充分。（教材p36“这样的”三个字是教材编写规范性、科学性的要求，但第一课时学生很难理解，到p40页后回一回，由“其中的”过渡到“这样的”，是一个过程，更是形式与实质。）
把握形象与抽象的关系。分数是非常抽象的概念。学生在学习时往往局限于用一句比较程式的话和分数符号来表达，使概念的认识单一化和形式化，因为他们没有经历分数概念形成的“过程抽象”。过程抽象，需要“辨析比较材料——提炼抽取本质——归纳概括命名”。特别是在提炼抽取分数本质时，需要进行分类分析和聚类分析。分类分析，是为了得出分数产生的前提条件；聚类分析，是为了归纳分数的本质特征。
理解“1”和分数单位。对单位“1”和分数单位的理解，这是必须突破的难点。三年级上册教
学“分数”概念时，感知的是把单个物质看做一个具体形象的整体，把这个具象整体平均分成几份，每份是这个具象整体的几分之一。所以单个物质实体就是一个具象整体概念“1”。三年级下册认识的是把多个物质实体看做一个抽象的整体，所以多个物质实体的集合就是一个抽象整体概念“1”，显性呈现就是由1个苹果到1筐苹果的单位由“个——筐”。由原来单个具象整体到多个物质实体集合的抽象整体，是认识分数的一次质的飞跃。要认真复习三年级下册的“一个整体平均分”，处理好“个数”与“份数”的辨别。如6个蘑菇平均分成3份，每份是2个。分数表示是1/3，2/3时个数与份数、2/6是个数与个数都是错误的。
分数与除法的关系。分数与除法的关系让学生理解也是一个难点。
教材变化：注意：（1）本单元只教学假分数化成带分数，不教学带分数化成假分数。因为小学教学里不进行带分数的四则计算，不需要带分数化成假分数。更主要的原因是，教学带分数是为了更好地理解假分数，因为假分数化成整数或带分数，容易感受假分数的分数值。体会数值的大小，是建立数概念不可缺少的。（2）分数与小数的互化：分数能否化成有限小数，不要深入研究。
部分习题：涂：p39练一练1中间的第3小题是7/4，不是7/8。P38例题2第一句话“把一个
圆看作单位‘1’”要理解。学生一直接触分子小于分母的真分数，接受假分数有一定的过程。P38例题2中间第3幅图涂“4/4”，以及涂并写出5/4。
【教材安排】
本单元涉及的有关知识比较多，大致分成五部分编排。
1.第36~37页分数的意义和分数单位。    2.第38~43页真分数与假分数，用分数表示两个数量的关系。  3.第44~46页分数与除法的关系，用分数表示除法的商。    4.第47~50页带分数，假分数化成整数或带分数，分数与小数相互改写。    5.第51~54页全单元内容的整理与练习。    编排的三道思考题都与本单元教学的知识直接有关，对理解分数意义和发展数感十分有益。
1．分数意义，重点是建立单位“1”的概念。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。这是关于分数的描述式定义。单位“1”、平均分、表示一份或几份的数是定义里的三个主要内涵。相对于后两个内涵，单位“1”较难理解，是教学分数意义的关键，是必须突破的难点。
例1的教学分四步进行： 第一步用分数表示一块饼、一个长方形、一根表示1米的线条、一个集合的几分之一或几分之几，并结合图说说写出的每个分数的含义。引起对已有知识的回忆，感受被平均分的对象是非常广泛的，为建立单位“1”的概念积累具体的感性材料。第二步告诉学生，被平均分的一个物体、一个计量单位或一个整体都可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。这里把“自然数1”作为建立单位“1”的台阶，出于两个原因： 首先是被平均分的对象都是“一个”，即一个物体、一个计量单位、一个集合，“一个”用自然数“1”表示，学生容易接受。先理解用自然数1表示，再提升成单位“1”，降低了认知的坡度。其次是体现了分数与自然数是有联系的，有利于后面教学假分数。教学时，让学生说说哪些物体能看成单位“1”。比如，一个学生、一个小组的学生、一个班级的学生、全校的学生等，让学生更充分地体会单位“1”具有很强的概括性，可以根据具体情境来判断。第三步回答“大象”卡通提出的问题，再认各个分数的单位“1”是什么，使抽象的概念回归到具体实例中去。第四步揭示分数的意义和分数单位的含义，由于在前三步的教学中建立了单位“1”的概念，这一步的教学就顺理成章了。引导的方法是让学生“辨析比较材料——提炼抽取本质——归纳概括命名”。
通过练习，整体的感受分数意义的三个内涵：。“练一练”和练习六通过写分数和解释分数，
进一步体会单位“1”和分数的意义。如“练一练”写分数时，要看懂每幅图里把什么看成单位“1”，平均分成几份，几份涂了颜。思考和交流都是围绕分数意义展开的。又如练习六第2题在三个图里涂表示2/3，交流中体会为什么各次涂的桃的个数不同，源于单位“1”的整体对象不同。第3题说分数的意义，是六年级分析分数乘、除法实际问题数量关系的基本思路。要多加练习，由第（1）小题作了示范，要求说清楚把什么看作单位“1”，平均分成几份，另一个数量有这样的几份。第5题写成的两个分数有相同的单位“1”，由于平均分的份数不同，所以表示1份的分数也不同。
2．以分数单位为新知识的生长点，教学真分数和假分数。
在例2之前，学生接触的分数都是分子比分母小的分数。例2和例3陆续引出分子和分母相等以及分子比分母大的分数，然后把以前认识的分数和例题里新认识的分数进行比较、分类，得出真分数和假分数。
例2以分数单位为知识生长点，通过推理表示出假分数。先在三个同样的圆里涂颜分别表示1/4、3/4和4/4，从已经认识的分数带出4/4，并通过说说每个分数各有几个1/4，理解4/4的意义，初步体会几个1/4是四分之几；再在图形中涂颜表示5个1/4，利用“5个1/4是几分
之几”这个问题，引导学生结合看图写出5/4，再次体会几个1/4是四分之几。理解1个圆只能表示4个1/4，表示5个1/4需要2个圆非常重要，不仅直观感受5/4的意义，而且有利于以后认识带分数以及假分数化成带分数的方法。
例3教学分子比分母大的分数，充分利用例2的基础，紧紧抓住分数的意义，让学生在说和画的活动中主动理解这些分数的意义。先出现三个分母都是5的分数，说说这些分数各有几个15，并在图形里涂颜表示。学生经历四分之几到五分之几的扩展，有助于对其他分母的分数意义的理解。
例2和例3先后出现七个分数，有分子小于分母、分子大于分母、分子等于分母三种情况。教材的安排是先比较各个分数分子和分母的大小，再把七个分数分成两类，分别定义真分数和假分数。学生按分子与分母的大小比较，往往把七个分数分成三类，这是正常的现象。教学时只要把分子比分母大和分子与分母相等这两类分数合并起来，指出它们都是假分数。有的教师依据三年级“分蛋糕，结果不能用整数表示，所以需要分数、产生分数”，这类分数是“真分数”，结果满1个，或者不仅满1，还比1大，这类分数区分出来，是“假分数”。这样帮助学生理解，也是有一定道理的。
自然数包括小数吗3．用分数表示同类两个数量的关系，是对分数意义的进一步理解。
分数的意义表达的是部分与整体的关系。事实上，分数的应用不局限于部分与整体关系的范畴。分数也可以表示两个同类量之间的关系。这是分数意义的拓展。教材借助直观图，例4说出一个数是另一个数的几分之几，例5已知一个数是另一个数的几分之几，画出这个数。通过这两题的教学，让学生加深对单位“1”的理解。这一内容的编写既是对分数意义的必要补充，也突出了单位“1”对数量（两量）关系的影响，对学生学习用分数乘除法解决实际问题非常有帮助。

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