2023年高考数学模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围
是（ ）
A
．
1⎛ ⎝⎭ B
．( C
．1⎛ ⎝⎦ D
． 2．若23455
012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）
A ．5
4 B ．58 C ．516 D ．532
3．设函数
()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．
()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()
f x
g x ⋅是奇函数 4．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对
(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）高考试卷全国都一样吗
A ．4a m
B ．2
a m +
C ．2a m m +
D ．42a m m + 5．已知向量()()
1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）
A ．6里
B ．12里
C ．24里
D ．48里
7．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B，则该班（）
A．物理化学等级都是B的学生至多有12人
B．物理化学等级都是B的学生至少有5人
C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人
D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人
9．已知
2
cos(2019)
3
πα
+=-
，则
sin(2)
2
π
α
-=
（）
A ．7
9B．
5
9C ．
5
9
-
D ．
7
9
-
10．已知集合
{}1
A x x
=<
，
{}1x
B x e
=<
，则（）
A．
{}1
A B x x
⋂=<
B．
{}
A B x x e
⋃=<
C．
{}1
A B x x
⋃=<
D．
{}
01
A B x x
⋂=<<
11．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（）
A．B．C．D．
12．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为
ˆu=-0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（）
A ．e
B ．e2
C ．ln2
D ．2ln2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）
14．已知抛物线()220y px p =>的焦点和椭圆22
143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、
Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，
3MFP π∠=，当MFP 面积最
大时，直线AB 的方程为______.
15．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________． 16．()41+x 的展开式中2x 的系数为________________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<；的解集为
()2,2-． （1）求m 的值；
（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：
1119234a b c ++≥． 18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：
22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l
分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF . 19．（12分）设函数()()1f x x a x a R =++-∈．
（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆
心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．
（1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l
分别与y 轴相交于点A ，.B 当线段AB 的长度最小时，求s 的值．
21．（12分）已知双曲线
22:1C x y -=及直线:1l y kx =+. （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；
（2）若l 与C 交于A ，B 两点，O 是原点，且2OAB S =，求实数k 的值.
22．（10分）如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】 由44422
2222a b c a b c a b +++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】 由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422
2
22(2)a b c a b c a b ++-=+， 可得222222
222
22()c a b c a b a b c a b +-++-=+， 通分得22222222
22()()0a b c c a b a b a b +---+=+，
整理得222222()a b c a b +-=，所以
222
21()24a b c ab +-=， 因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-，
又由余弦定理
2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+- 222
3()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，
所以)c a b >
+
，即
3a b c +≤， 又由a b c +>，所以a b c +
的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.
2、C
【解析】 根据551[(21)1]32x x =
-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可.
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