庞加莱猜想
庞加莱猜想
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庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。
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庞加莱猜想图示
令人头疼的世纪难题
缘起
  如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
  一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。
  1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面的n维封闭流形必定于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
猜想的简单比喻
  如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
  我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里
庞加莱猜想
面看，这就是一个球形的房子。
  我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
  好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到
最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
  我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；
  另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
  为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
  看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的和。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
艰难的证明之路
七个“千禧难题”
  2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“”（又称）
之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别是： ， （Hodge）， （Riemann），（Yang-Mills），（Navier-Stokes，简称），（Birch and Swinnerton-Dyer）。
  提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
早期的证明
  20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家（Whitehead）对这
庞加莱猜想
个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。
  30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的（R.Bing）、（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
  帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰•米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”
  然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流
传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。
柳暗花明的突破
  这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。
  一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是拓扑研
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究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。
  1966年得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的和五维以上的证明，立时引起轰动。
  10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。在工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。
  拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
  “就像，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任说。
最后的决战
  然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。人们在期待一个新的工具的出现。可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？
  工具有了。
  理查德•汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。
  1972年，和合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在的一个讨论班上，当时是数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”
  Ricci流是以意大利数学家（Gregorio Ricci）命名的一个。用它可以完成一系列的拓扑手
术，构造几何结构，把不规则的变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中就包括他的第一个来自中国大陆的学生。 诺贝尔为什么没有数学奖
  第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间里，几乎所有的媒体都在曹怀东，但穿着件颜鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。
  1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？
  在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。
  与其同时，地球的另一端，一个叫的数学家在花了8年时间研究这个足有一个世纪的古老数学难题后，将3份关键论文的手稿在2002年11月和2003年7月之间，粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家。声称证明了几何化猜想。到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成。
  “如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢—让他们去看吧。”佩雷尔曼博士说，“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。”
  佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金补充到他那微薄的收入中去。
  对于佩雷尔曼，人们知之甚少。这位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻和。16岁时，他以优异的成绩在1982年举行的中摘得金牌。此外，他还是一名天才的小提琴家，桌球打得也不错。

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