爱因斯坦引力场方程
爱因斯坦引力场方程
万有引力常数根据等效原理和广义协变原理，只要把狭义相对论中的物理规律写成广义协变的形式，就可以得到除引力以外的在引力场中的物理定律。要作到这一点只需要把定律中的普通微分改写为协变微分就可以了。无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程可以这样得到。在狭义相对论中，质量为m的自由粒子或光子，分别沿闵可夫斯基时空中的类时直线或类光直线运动。将这些运动方程写成协变形式，就分别得到黎曼时空中的类时或类光测地线方程，即无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程。物质场的方程也可以这样得到。例如将狭义相对论中的克莱因—戈登方程（Klein-Gordon equation）写成广义协变形式，就得到在引力场中的标量场方程。
  在狭义相对论中，存在一系列的守恒方程。将这些守恒方程中的普通散度改为协变散度，就得到在引力场中相应的守恒方程。例如，这样可以得到能量动量守恒在引力场中的形式为：。这里就是能量动量张量。但是，这种方式不可能得到引力定律本身，也不可能得到同曲率有关的效应。例如，不可能得到测地线偏离方程中同曲率有关的项，也不可能得到在引力场中自旋粒子的自旋同曲率的耦合项等等。与曲率有关的物理效应何时出现，只能作具体的分析。
  1915年，爱因斯坦几乎和希耳伯特（Hilbert David，1862～1943）同时在得到了完整的引
力场方程：，其中G 是牛顿引力常数G＝6．670×10-8cm3/(g·s2)。方程左边是描述引力场的时空几何量，右边是作为引力场源的物质能量动量张量。显然，这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想。爱因斯坦提出这个场方程的基本思路大致可以这样来概括：考察牛顿引力理论的泊松方程：，它是引力势的二阶偏微分方程，是引力源的质量密度。在相对论中，应该推广为引力源的能量动量张量，则推广为度规张量。因此，引力场方程应该是度规的二阶偏微分方程。进而，爱因斯坦发现同满足同样的守恒律。这便导致了他写下具有上述特点的正确的引力场方程。 在真空中，这个方程简化为：．1917年，爱因斯坦在对宇宙进行考察时，引进了宇宙常数Λ项，将方程修改为：，不久之后，他本人放弃了这一项。但是近年来，不少物理学家认为项的引进是有必要的。
4、广义相对论的实验验证
    在建立广义相对论时，爱因斯坦曾提出三种检验：光谱线的引力红移；内行星轨道近日点的进动；以及太阳引起的光线偏折。引力红移事实上只检验了等效原理，光线偏折和近日点进动涉及的是球对称静态引力场，以及其中光线或行星的运动。而厄缶实验则是爱因斯坦等效原理建立的前提条件。
图9-7为厄缶实验示意图
悬丝
4、1 厄缶实验 　
引力质量同惯性质量的等价是爱因斯坦提出等效原理的实验基础，也是整个广义相对论最重要的实验依据。这个等价性早在牛顿时代就有实验证明，19世纪末，厄缶以10－9的精度证明了这一点。近年来，验证这个等价性的实验精度又有提高。在牛顿理论中，牛顿第二定律的惯性质量mi同引力定律的引力质量mg是否相等，并没有本质的意义。如果一物体的mi与mg不相等，那么在引力作用下，它的加速度同当地引力常数g之间就有下面的关系：，比值mg/mi不同的物体，将有不同的加速度。然而，自伽利略的时代起，人们就发现，对于不同的物体，这个比值都是一样的。惠更斯、牛顿等人都进行过这类实验。
1889年，厄缶精确地证明了，对于各种物质，比值mg/mi的差别不大于10－9。厄缶在一横杆的两端各挂木制的A和铂制的B两个重量相差不大的重物，杆的中点悬在一细金属丝上。如果g是地球引力常数，是地球自转引起的离心加速度的垂直分量，lA和lB是两个重物的有效杆臂长，那么当平衡时，由于A、B的重量相差不大，因而横杆略为倾斜以满足，同时，在厄缶进行实验的纬度上，地球自转引起的离心加速度有一可观的水平分量，会使得横杆受到一个水平转矩：，消去lB，又由于远小于g可以略去，因而得到：
这样，只要二者mi/mg的比值不同，就会扭转悬挂横杆的细金属丝。但是，厄缶在10－9的精度上没有测出这种扭转。
鉴于这一实验的精确度直接影响广义相对论理论的可靠性，以后几十年来，人们对这一实验的兴趣有增无减。1960～1966年，狄克（Robert Henry，Dicke，1916～）等人为提高厄缶实验的精度，把厄缶的扭秤横杆改成三角形水平框架，又把石英悬丝表面蒸镀铝膜以
避免静电干扰，并将整个装置置于真空容器中，使实验的精度推进了两个数量级，达到（1.3±1.0）×10－11。1972年，前苏联的布拉金斯基（Braginsky）和班诺夫（Panov）对厄缶实验又做了重大的改进。他们采用电场中的振荡法，旋转由激光反光光斑记录在胶片上，使实验结果又在狄克的基础上提高了两个数量级，即9×10－13。
4、2 水星近日点的进动 　
牛顿力学已经受住了两个世纪的考验，随着时间的推移，牛顿力学的成功事例在不断地增多。1705年哈雷（Edmund Halley，1656～1742）用牛顿力学计算出在1531年、1607年和1688年看到的大彗星实际上是同一颗，这就是后人所称的哈雷彗星。克雷洛（Alxis Claude Clairaut，1713～1765）在仔细地研究了哈雷的报告后，又根据牛顿力学考虑了木星与土星对彗星轨道的影响，预言人们将在1758年圣诞节观测到这颗彗星，果然它如期而至。19世纪40年代，法国的勒威耶（Urbain Jean Jeseph Leverrier，1811～1877）、英国的亚当斯（John Couch Adems，1819～1892）分别对天王星的轨道摄动进行计算而导致了海王星的发现，这是牛顿力学的又一次辉煌的胜利。
    虽然牛顿力学获得了巨大成功，但人们也发现有一个现象它是不能解释的。从1859年起，
勒威烈就开始观测众星的微小摄动，他发规水星的近日点每百年的进动大约比牛顿引力理论计算值多出40弧秒。1845年，他断言水星的反常运动是受到一颗尚未发现的行星的影响，他称这颗行星为“火神星”，但是始终未能从观测中发现这颗火神星。1882年．美国天文学家纽科姆（Simon Newcomb，1835～1909）对水星的进动又做了更加详细的计算。计算结果表明，水星近日点的进动应为43″／百年。但后来的解释都没有获得成功。
1915年，爱因斯坦的广义相对论建立后，史瓦西（Karl Sahwarzschild，1873～1916）很快地到了球对称引力场情况下的引力场方程解，后来被称为史瓦西解（或史瓦西度规）。爱因斯坦认为太阳的引力场适用于史瓦西解，考虑到中心质量使它周围的时空发生“弯曲”，检验粒子每公转一周，近心点的进动量为：
对水星来说，G为万有引力常数，M为太阳的质量，c为光速，a是水星轨道的半长轴，ε是偏心率。用史瓦西度规来描述太阳引力场，把行星当作检验粒子，就可算出太阳系中水星轨道每百年进动的理论值为43.03弧秒，而观测值为43.11±0.45弧秒。比较理论值和观测值
可以明确看到：广义相对论在解释牛顿理论所不能说明的水星剩余进动方面是相当成功的。这一结果不但解决了牛顿引力理论多年的悬案，而且为广义相对论提供了有力的证据，它成为验证广义相对论的三大有名的实验判据之一。
4、3 光线的引力场弯曲
图9-8为日蚀时由于太阳边缘的光线发生了弯曲，太阳附近的星体好像稍稍地发生了移动
19世纪初，有人利用牛顿的引力理论，计算出光通过太阳的表面时，大约应该有0.85弧秒的弯曲，这是按重物在太阳附近平抛关系算出来的结果。1911年6月，爱因斯坦在《引力对光线传播的影响》一文中，也预言了光线经过太阳附近的弯曲效应。然而这种弯曲不是出自于引力的“力”作用。而是由于引力的空间弯曲效应引起的，所以它应与牛顿引力的光线弯曲作用有所不同。按广义相对论的空间引力弯曲理论计算，光在太阳的史瓦西场中，其运动将遵守测地线方程。当光粒子经过太阳表面时，一个远离太阳这一引力中心的观测者所观测到的偏转角应为，其中G为万有引力常量，c为光在真空中的速度，r0r0是光线路径到太阳质量中心的最近距离。理论的计算结果应为1″...．75，相当于按牛顿引力理论计算值的2倍。在提出这一预言的同时，爱因斯坦还提出了观测方法：“由于在日全食时，
可以看到太阳附近天空的恒星，理论的这一结果可以同经验进行比较。”他希望天文学家们对这一结果进行实地考察。
    爱丁顿（Eddington A．S，1882～1944）对广义相对论的热情很快地使他的密友、同事、皇家天文学会的戴孙（Frank Dyson）受到感染，他们为1919年日食间的考察积极筹划。1919年5月29日，恰好有一次日食发生。英国皇家学会和皇家天文学会联合派出了两支考察队，分别由爱丁顿与克劳姆林（C．D．Crommelin）教授带领，分赴几内亚湾的普林西比岛与巴西的索布腊尔两地进行观测。经过分析与比较，两支考察队的观测结果分别是α＝1″．61±0″．30和α＝1″．98±0″．12。理论的预期值基本上与观测值相符。11月6日，英国皇家学会和皇家天文学会联合举行了发布会，发布这次远征队的考察结果。戴孙爵士第一个发言说：“认真研究过这些底片之后，我要说，底片肯定了爱因斯坦的预言。”大会主席J．J．汤姆逊认为“这是牛顿时代以来，所取得的关于引力论的最重要的成果，它已不是发现一个外围的岛屿，而是到了整个科学思想的新大陆，……这个结果是人类思想的最伟大的成就之一。”
60年代末，由于射电天文学的发展，使人们有可能用高于光学观测的精度来测量太阳引起
的射电信号的偏折，1973年，光学测量所得偏转角同理论值之比为0．95±0．11，1975年已达到约1±0．01。近年来，又进行了掠过太阳的雷达回波时间延迟的检验，并准备进行绕地轨道上陀螺仪进动的实验。此外，广义相对论关于引力波的预言，相对论天体物理和宇宙学关于中子星的预言，关于宇宙膨胀导致红移的预言，以及关于微波背景辐射的预言等等都分别得到天文观测的支持或证实。

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