浅探胡克力与万有引力的联系
作者：***
来源：《课程教育研究》2019年第13期
【摘要】根据开普勒第一定律，万有引力情况下行星运动轨迹为椭圆，恒星在椭圆的焦点上。在胡克力的情形下，我们很容易得到运动轨迹也是椭圆。本文就这一现象，在理論上探讨了胡克力和万有引力的联系。通过引入的一个轨迹间的变换将胡克力运动方程与万有引力运动方程联系起来，由此可以通过胡克力运动方程的解得到万有引力运动方程的解，并通过所得万有引力的解证明了开普勒第一定律和第三定律。
【关键词】胡克力 ;万有引力 ;椭圆轨迹 ;运动方程 ;变换
【中图分类号】G63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）13-0151-02
一、引言
中学阶段，我们学习了万有引力及行星运动的相关知识，尤其是开普勒三定律[1]的结果仅仅把结论呈现出来，但是为什么万有引力情形下的运动满足开普勒三定律却没有涉及。想要回答这个问题，我们需要写出其运动方程并求解，但是直接的求解比较困难，在本文中，我们发现，胡克力的运动轨迹也为椭圆且非常容易得到其运动轨迹的数学表达式。这为求解提供了一个思路，能否将胡克力和万有引力联系起来，通过某种变换将胡克
力运动方程的解变为万有引力运动方程的解。正所谓“他山之石，可以攻玉”，我们在本文中确实利用一个变换由胡克椭圆运动方程得到万有引力运动方程，并由此得到万有引力运动方程的解，从而证明了开普勒第一和第三定律。
二、运动方程的复数形式
万有引力（反比于距离的平方）的运动方程如下：
m■=-■
其中G为万有引力常数，M为恒星质量，m为行星质量。这属于有心力场下的运动，因此运动轨迹在一个平面内，设此平面为xy平面，运动方程为：
m■=-■，m■=-■
在此平面上引入复数坐标z=x+iy，可改写运动方程为：
万有引力常数
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