2023年高三年级三月调研考试数学试题
参考答案与评分标准
一、选择题与多选题题号123456789101112答案
D
B
C
C
A
B
B
D
ABD
BCD
BCD
ABD
三、填空题13.
2
1-
14.
e
2215.
2
222或
16.1(2分)
91（3分）
四、解答题
17.解：(1)依题意有.sin cos cos sin sin sin sin )6
π
sin(sin 2B A B A A
C A A B ++=+=+
sin sin cos sin sin cos cos sin .
A B B A A A B A B +=++πcos 2sin()1,6B B B -=-=πππ
(0,π),,.
663
B B B ∈∴-==又…………3分
3π4ADC ∠=
，则π
4
ADB ∠=，在
ABD △中，由正弦定理得
sin sin AD AB
B ADB =
∠，
∴32
22
=
，解得AD =．……5分（2）设CD t =，则2BD t =，又ABC S =△
即
12322
t ⨯⨯⨯=，可得2t =，故36BC t ==，又AC =
==在
ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD AB
BAD ADB =∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，
在ACD △中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠，故sin 7CAD ADC ∠=∠，
因为()sin sin
sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，
sin
sin
7
BAD
CAD
∠
∴==
∠
…
…10分
18.【详解】（1）由题设2
2
n n n
S a a
=+且，0
n
a>
当1
n=时，2
1111
22
S a a a
==+，可得11
a=；
当2
n≥时，22
111
2)2
(
n n n n n
n n
S a a a a
S a
--
-
-==+--，则22
1111
()()
n n n n n n n n
a a a a a a a a
----
+=-=+-；
由10
n n
a a
-
>
+，故11
n n
a a
-
-=，
所以{}n a是首项、公差均为1的等差数列，故n a n=.……5分
（2）
2214
222
n
n
a n
m m n m
a n n
⎛⎫
+≤⇒+≤⇒+≤
⎪
⎝⎭
，
因为
142
2
n
n
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
≥，当且仅当2
n=时成立，所以
1
b=，
2
1
b=，
当3
m≥，因为
21212
221221
m m m
m m
-
+=-+≤
--
，
221
22
m m m
m m
+=+>，
所以能使
2
2
n m
n+≤成立的n的最大值为21
m-，
所以21(3)
m
b m m
=-≥，
所以{}m b的前50项和为
()
59948
015799012497.
2
+⨯
+++++=++=
.……12分
19.（1）证明：连结AC，111111
,,,
AA CC AA CC AE AA CF CC
λλ
===
∥
=.
AE CF AE CF AE CF
∴=
，即，∥
.
AEFC AC EF
∴四边形为平行四边形，则∥
,
EF BEF AC BEF
⊂⊄
平面平面
,.
AC BEF BEF ABCD l l ABC
∴=∴⊂
∥平面平面平面平面
.
AC l
∴ ABCD AC BD
⊥
菱形，则，
111
,,
BB ABCD ALC ABCD AC BB BD BB B
⊥⊥=
又平面平面，则
1
AC B BDD AC l
∴⊥
1
平面，又∥
1
l B BDD
∴⊥
1
平面
…………4分
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
E
F
O
x
y
z
O1
11111111111,.,,.
2A C B D O AC BD O OO BB BB ABCD
OO ABCD OO OB OO OC =⊥∴⊥⊥⊥ 交于点，则∥平面平面连结则（
）11111.2,1,.3
,,,2.
111.
3239B BDF F BDB ABCD OB OC AC EF OA OC AB BD OB OC OO x y z BB t DD t V V t --⊥==∴====∴====⨯⨯⨯= 菱形，则以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，设
则1111111122,2,4
3,(,0,4),(0,0,3),(0,1,3)3
(,1,34)(0,1,0)3sin 4752()(34),(01),()333t BB DD OO D CF F D F OC BDD D F OC D F OC
f f λλλθλλλλ∴===∴=-=∴=-=∴==
⎡=-+<≤∈⎢⎣ 即则又是平面的一个法向量设则
，sin 527
θ⎫
⎪
⎭<≤………………12分
20.解：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件12,A A ，则()()12343322
455535
P A P A =
⨯==⨯=，由题意可得，X 的取值有0,1,2,()326
0115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
()323213
111555525
P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()326
25525
P X ==⨯=.
所以()61360121252525
E X =⨯
+⨯+⨯=…………6分
（2）依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为()()12131224=,=,
3553515P B P B =⨯=⨯乙已得10分，甲若想获胜情况有：①甲得20分：其概率为
；
251
5151=
⨯
②甲得10分，乙再得－10分，其概率为;254
533251(C 1
2=⨯⨯
③甲得0分，乙再得－20分，其概率为.
254
5332(2=⨯故乙先得10分后甲获胜的概率为.
25
9
254254251=++…………12分21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，且()22
1
0ax x g x x x
-+-'=>)，当a =0时,()g
x 在()1,0上单调递减，()g x 在()+∞,1上单调递增；
当a>0时,14,
a ∆=-1
(i)140,()0,()0+4
a a g x g x '∆=-≤≥≤∞当即时，在（，）上单调递减；
1
(ii)140,0()=0,4
a a g x '∆=-><<；当即时，令得
2
1210,2411,2411x x a
a
x a a x <<-+=--=
x
)2411,
0(a
a
--)24112411(
a
a
a a -+--，)2411(
∞+-+，a
a
)(x g '－+－)
(x g 减函数
增函数
减函数
综上：当=0a 时，()g
x 在()1,0上单调递减，在()+∞,1单调递增；
1
4
a ≥当时，，()0g x +∞在（，
）上单调递减；当4
1
0<
<a 时，)(x g 在，
)2411,0(a a --)2411(∞+-+，a a 上单调递减；在)24112411(
a
a
a a -+--，上单调递增.
………………5分
(2)由题意知1a =时，()()1
八省联考有哪些省ln g x f x x x x x
=-=+
-，
由（1）知，)(x g 在),0(+∞上单调递减，且∴=，
0)1(g 当),1(+∞∈x 时，0)1()(=<g x g .又,1
)(2x
x x f -=' 令.1,0)(=='x x f 得所以
()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞递增，因为()10,1a ∈，所以()211a f a =>，
()321a f a =>，…，()11n n a f a +=>．……………………7分()()10g x g ≤=又．所以()21110n n n n a a f a a ++++-=-<，即21.
n n a a ++<；又因为函数()g
x 在[)∞+，
1时单调递减，所以()()21.n n g a g a ++>，即
22112
1
11
ln ln .n n n n n n a a a a a a +++++++->
+-，即32210.n n n n a a a a ++++>->-12230.
n n n n a a a a ++++∴->->1212
2323
1,()0.n n n n n n n n a a a a g a a a a ++++++++-->∴<--．…………12分
22.解；(1)依题意有
22222,149
1,21c b a b
a a c +==+=，解得,1,3,2===c
b a ∴椭圆方程为.
13
42
2=+y x …………3分
(2)设),,(),,(2211y x Q y x P 则)2,2(11y x D ，∴.
13
41342
22
22
12
1=+=+y
x y x ，又043.4
3
2121=+∴-
=∙y y x x k k OQ OP 设12,12(
),2,2(),(,2
1212122λ
λλλλλ++++∴--=--∴=y y x x E y y x x y y x x ED QE E E E E 又E 在椭圆上，∴.1)
1(344)1(4442
2
12
22
122212
22
12=+++++++λλλλλλy y y y x x x x 221212
22
22
12
12
)1()3
4(434)34(4λλλ+=+++++y y x x y x y x 即,)1(1422λλ+=+∴.
32
=∴λ…………6分
.5
7
,
5252,32OPQ OPEQ OPQ QPD PEQ S S S S S ED QE △四边形△△△=∴==∴=
∴,
2
3
,.43±=∴-=-=∙OP OQ OP OQ OP k k k k k x PQ 轴时，∥当
y
Q P
O
x F
F
E
D
根据对称性不妨取2
3=
OP k 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=124323
22y x x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==262y x 或⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=262y x ，.36221=⨯⨯=∴OPQ S △………8分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为x =my +t ，由
⎩⎨⎧=++=12
432
2y x t
my x ，，得01236)43(222=-+++t mty y m ,4
312
3,4362
2
21221+-=+-=+∴m t y y m mt y y .
04))((34321212121=+++=+y y t my t my y y x x .03)(3)43(2
21212
=++++t y y mt y y m ∴.
034
31843123)43(222
222
=++-+-+t m mt m t m .43204322222+==--∴m t m t 即…………10分
2
2222
22222
)43()43(48143)123(4)436(1||+++-+=+--
+-+=m m t m m t m mt m
PQ 点O 到直线PQ 距离为2
1m
t +，
.34
334||212
2
=+⨯⨯=∴m t t S OPQ
△.537=∴OPEQ S 四边形…………12分
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