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3 湖南省 2021 年普通高等学校对口招生考试
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4 页。时量 120 分钟。满分 120 分。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 A = {1 , a }， B = {1 , 2 , 3 , 4}， A B = {1 , 4}，则 a =
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2. sin120 = 1 1 A. B. 2 2
C. D. - 3 2 2 3. “ x = 1”是“ x 2 -1 = 0”的
A. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 点 M (1 , 3)， N (3 , t )在函数 y = k
的图象上，则t 的值为 x
A. 1
B. 3
C. 6
D. 9
5. 平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 M ， AB = a ， AD = b ，则 AM =
A. 1 a - 1 b
B. 1 a + 1 b
C. a + b
D. a - b
2 2 2 2
6. 函数 f (x )= log 2 (x -1)的定义域为
A.
{x x > 0} B. {x x ≠ 1} C. {x x > 2} D. {x x > 1}
7. ⎛ x - ⎝ A. - 20 1 ⎫6 ⎪ x ⎭ 展开式中的常数项为
B. 20
C. -120
D. 120 8. 已知 a = sin 20 ， b = cos 40 ， c = tan 80 ，则 a ， b ， c 的大小关系为
A. a > b > c
B. b > c > a
C. c > b > a
D. c > a > b 9. 已知函数 f (x )= 2 x ，若 f (a - 2)< A. (- 2 , 2)
C. (- ∞ , 0) (4 , + ∞) f (2)，则 a 的取值范围是
B. (0 , 4) D. (- ∞ , 4)
10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
① BM 与ED 平行. ② CN 与BM 成60 角.
③CN 与BE 垂直. ④ DM 与BN 是异面直线.
以上四个命题中，正确的命题个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
11. 已知向量a =(1 , 2)，b =(- 2 , 3)，则a ⋅b= .
12.某校有男生300 人，平均身高为173 cm ，女生200 人，平均身高为163 cm ，则该校所有学生的平均身高为cm .
13.函数y = 2 cos x -8 的最小值为.
14.已知等差数列{a n}前n项和为S n，且a1=16，a2 =13，则S5=.
15.过点P(2 , 1)作圆x2 +y2 =1的两条切线，切点分别为A ，B，则AB 所在的直线方程为 .
三、解答题（本大题共 7 小题，其中第 21，22 小题为选做题. 满分 60 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分 10 分）
已知数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=63，求n.
17.（本小题满分 10 分）
如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，O 为AC 与BD 的交点，SO ⊥底面ABCD . （1）若E ，F 分别为SA ，SC 的中点，求证：EF // 平面ABCD ；
（2）若AB =SA = 4 ，求四棱锥S -ABCD 的体积.
18.（本小题满分 10 分）
19.（本小题满分 10 分）
(2 , -2
2 ).
已知抛物线y2 = 2 px(p > 0)经过点
（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线2x - 3y - 8 = 0 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA ⊥OB .
已知函数f (x)=x2 +bx - 2 .
（1）若f (x)为偶函数，求不等式f (x)≤ 0 的解集；
（2）若f (x)在[- 2 , 4]上的最大值为 10 ，求b 的值.
选做题：请考生在第 21，22 题中选择一题作答. 如果两题都做，则按所做的第 21 题计分，作答时，请写清题号.
21.（本小题满分 10 分）
已知∆ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a =
（1）求A ；
（2）求cos C 的值.
，b = ，B = 60 .对口招生
2 3
某服装工人加工上衣和裤子，加工件上农可获利 50 元，加工一条裤子可获利 20 元；加工一件上衣需要 2 小时，加工一条裤子需要小时. 由于布料限制，该工人每天最多加工 3 件上衣
和 4 条裤子，且每天工作不超过 8 小时，问：该工人如何安排生产才能使每天获得的利润最大?利润最大值是多少?
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