2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B = （）
A ．{}1
B ．{}2
C ．{}
3D ．{}
2,3【答案】D
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】{}{}202A x x x x =-≥=≥，{}1,2,3B =，所以A B = {}2,3，故选:D
2．由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（）
A ．21
B ．18
C ．15
D ．12
【答案】A
【分析】根据已知，先利用分类加法计数原理进行分类，再利用组合数以及有限制的排数问题列举求解.
【详解】由题可知，至少有两位数字相同的三位数分为两种情况，有三位数字相同的三位数有：111，222，333共3个；
有两位数字相同的三位数的个数为2
36C 18=,
所以，由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为21，故B ，C ，D 错
误.故选：A.
3．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=,238a a =，则数列{}n a 的前n 项和为（）
A ．21
n -B ．11612n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．121n --D ．111612n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【分析】由题可得141,8a a ==，进而可得2q =，然后利用求和公式即得.【详解】设数列{}n a 的公比为q ,
由题意可得：142314
9
8a a a a a a +=⎧⎨==⎩,
又数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，所以4
3
1
2a q a =
=，所以数列{}n a 的前n 项和为()1122112
n n n S ⨯-==--.
故选:A.
4．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布律如下表X
12
3
P
!
?
尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同．据此求()E X 的结果为（）
A ．1.5
B ．2
C ．2.5
D ．不确定
【答案】B
【分析】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得出21a b +=，再利用随机变量的期望公式可求得()E X 的值.
【详解】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得21a b +=，所以，()()2342222E X a b a a b a b =++=+=+=.故选：B.5．若函数32
13()432
f x x x ax =-++在区间(0，4)上不单调，则实数a 的取值范围为（）
A ．944⎡
⎫-⎪
⎢⎣
⎭，B ．904⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，C ．944⎛
⎫- ⎪
2022年立夏⎝
⎭，D ．904⎛⎫
⎪
⎝⎭
，【答案】C
【解析】求出()f x 的导数，先求出()f x 在区间(0，4)上单调的a 的范围，即()0f x '≥或()0f x '≤在
()0,4恒成立，即可得出不单调的a 的取值范围.
【详解】可知()2
2
39324f x x x a x a ⎛
⎫'=-+=--+ ⎪⎝
⎭，
若函数32
13()432
f x x x ax =
-++在区间(0，4)上单调，则()0f x '≥或()0f x '≤在()0,4恒成立，39024f a ⎛⎫
'∴=-≥ ⎪⎝⎭
或()440f a '=+≤，
解得4a ≤-或9
4
a ≥，
函数32
13()432
f x x x ax =
-++在区间(0，4)上不单调，944
a ∴-<<
.故选：C.
【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题.
6．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（）
A ．3.4尺
B ．4.36尺
C ．5.32尺
D ．21.64尺
【答案】B
【分析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可．【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列{}n a 的前13项，则11313, 1.48==a a 所以公差为()1
1.48130.96131
=
⨯-=--d ，则立夏的晷影长应为()1011011390.96 4.36=+-=-⨯=a a d (尺)故选：B
7．已知函数()ln f x x x m =-+，若存在1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使()0f x ≤，则m 的取值范围是（
）
A ．(],1-∞
B ．1,1e ⎛
⎤
-∞+ ⎥
⎝⎦C ．(],e 1-∞-D ．(]
,e -∞【答案】C
【分析】将题意转化为ln m x x ≤-，1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，令()ln g x x x =-，即()max m g x ≤，对()g x 求导，求
出()g x 在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦的最大值即可得出答案.
【详解】若存在1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使()0f x ≤，即()ln 0f x x x m =-+≤，
所以ln m x x ≤-，令()ln g x x x =-，1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
()111x g x x x
-'=-
=，令()0g x '>，解得：(]1,e x ∈，令()0g x '<，解得：1,1e x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，
所以()g x 在[]1,e x ∈上单调递增，在1,1e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
所以()11
1111,ln 1,11
e e
e e e g e e g e ⎛⎫=-=-=+->+ ⎪⎝⎭所以1m e ≤-.故选：C.
8．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）
A ．10
B ．20
C ．24
D ．30
【答案】D
【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有6
6A 种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有6
644
A 30A =种排法，故A ，
B ，
C 错误.故选：D.
9．函数()()1ln f x x x =-的图象可能为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】由函数的定义域可排除B ，取特值可排除D ，当x 趋近负无穷时，()0f x <；可排除C ，即可得出答案.
【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}
0x x ≠，排除B ；当12
x =
时，()11
ln 022f x =->，排除D ；
当x 趋近负无穷时，10,ln x x -<；趋于正无穷，所以()()1ln 0f x x x =-<，排除C.故选：A.
10．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为10.9p =，20.75p =，30.3p =，
40.2p =，用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持第i 种方案()1,2,3,4i =，那
么方差()1D ξ，()2D ξ，()3D ξ，()4D ξ的大小关系为（
）
A ．()()()()1234D D D D ξξξξ<<<
B ．()()()()4321D D D D ξξξξ<<<
C ．()()()()2314
D D D D ξξξξ<<<D ．()()()()1423D D D D ξξξξ<<<【答案】D
【分析】由题意可知：随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，由两点分布的方差公式()(1)D p p ξ=-可解.
【详解】由题意可知：用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持，第i 种方案
()1,2,3,4i =，
所以随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，
则()111(1)0.90.10.09D p p ξ=-=⨯=，()2220.750.250.1875(1)D p p ξ-==⨯=，
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