2021年兰州市中考数学试题一、单项选择题〔每题4分，共60分〕
1．sin60°的相反数是【】
A．－1
2B．－
3
3C．－
3
2D．－
2
2
2．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，那么y 与x的函数关系式为【】
A．y＝400
x B．y＝
1
4x C．y＝
100
x D．y＝
1
400x
3．两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，那么这两个圆的位置关系是【】A．相交B．外切C．外离D．内含
4．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是【】
A．直线x＝1
2B．直线x＝－
1
2C．y轴D．直线x＝2
5．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如下图，那么其主视图的面积为【】A．6 B．8 C．12 D．24
6．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形〞，那么半径为2的“等边扇形〞的面积为【】
A．πB．1 C．2 D． 2 3
7．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，那么以下平移过程正确的选项是【】A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
8．用扇形统计图反响地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，那么落在陆地上的概率是【】
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
9．在反比例函数y＝k
x(k＜0)的图象上有两点(－1，y1)，(－
1
4，y2)，那么y1－y2的值是【】
A．负数B．非正数C．正数D．不能确定
10．某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，那么可列方程为【】
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200
11．二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，那么a、b的大小关系为【】A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定
12．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．假设动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为【】
A．7
4B．1 C．
7
4或1 D．
7
4或1或
9
4
13．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别一点M、N，使△AMN周长最小时，那么∠AMN＋∠ANM的度数为【】
A．130°B．120°C．110°D．100°
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图，假设|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【】
A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3
15．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁
块完全露出水面一定高度，那么以下图能反映弹簧称的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是【】
A．B．C．D．
二、填空题〔每题4分，共20分〕
16．如下图，小明和小龙做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是．
17．如图，点A在双曲线y＝1
x上，点B在双曲线y＝
3
x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，假设
四边形ABCD为矩形，那么它的面积为．
18．如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，假设大圆的弦AB与小圆相交，那么弦AB的取值范围是．
19．如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，假设过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，那么x的取值范围是．
20．如图，M为双曲线y＝
3
x上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－x＋m于
点D、C两点，假设直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，那么AD•BC的值为．
三、解答题〔本大题8小题，共70分〕甘肃中考
21．x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式
x－3
3x2－6x
÷
⎝
⎛
⎭
⎫
x＋2－
5
x－2
的值．
22．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的平安程度，如图(1)，虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的平安程度越高；如图(2)设计者为了提高楼梯的平安程度，要把楼梯的倾角θ1减至θ2，这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2，d1＝4m，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，求楼梯占用地板增加的长度(计算结果精确到
0.01m，参考数据：tan40°＝0.839，tan36°＝0.727)．
23．如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保存作图痕迹，不写作法)；
(2)折叠后重合局部是什么图形？说明理由．
24．5月23、24日，兰州市九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了局部学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如统计图．甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出第一组的频率为0.04，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4∶17∶15．结合统计图答复以下问题：
(1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？
(2)假设跳绳次数不少于130次为优秀，那么这次测试成绩的优秀率是多少？
(3)如果这次测试成绩中的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多
少人？
25．如图，定义：假设双曲线y＝k
x(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，那么线
段AB的长度为双曲线y＝k
x(k＞0)的对径．
(1)求双曲线y＝1
x的对径；
(2)假设双曲线y＝k
x(k＞0)的对径是102，求k的值；
(3)仿照上述定义，定义双曲线y ＝ k x
(k ＜0)的对径． 26．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接
DE 、OE ．
(1)判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；
(2)假设tanC ＝52
，DE ＝2，求AD 的长． 27．假设x 1、x 2是关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个根，那么方程的两个根x 1、x 2和系数
a 、
b 、
c 有如下关系：x 1＋x 2＝－ b a ，x 1•x 2＝ c a
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利
用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：
AB ＝|x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝a c a b 42
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-＝224a ac b -＝||42a ac b -． 参考以上定理和结论，解答以下问题：
设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点A (x 1，0)、B (x 2，0)，抛物线的顶点为
C ，显然△ABC 为等腰三角形．
(1)当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值；
(2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．
28．如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原
点，A 、B 两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y ＝ 2 3
x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝ 5 2上． (1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)假设把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四
边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD ，对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐
标；
(4)在(2)、(3)的条件下，假设点M 是线段OB 上的一个动点(点M 与点O 、B 不重合)，过点M
作∥BD 交x 轴于点N ，连接PM 、PN ，设OM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 和t
的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S 是否存在最大值？假设存在，求出最大值
和此时M 点的坐标；假设不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每题4分，共60分)．
1．sin60°的相反数是()
A．B．C．D．
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角的三角函数值和相反数的定义解答即可．
解答：
解：∵sin60°＝，
∴sin60°的相反数是－，
应选C．
点评：此题考查特殊角的三角函数值和相反数的定义，要求学生牢记并熟练
运用．
2．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，那么y 与x的函数关系式为()
A．B．C．D．
y＝
考
点：
根据实际问题列反比例函数关系式。
专
题：
应用题。
分
析：
设出反比例函数解析式，把(0.25，400)代入即可求解．
解
答：
解：设y＝，
400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，
∴k＝0.25×400＝100，
∴y＝．
应选C．
点
评：
反比例函数的一般形式为y＝(k是常数，且k≠0)，常用待定系数法求解
函数解析式．
3．两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，那么这两个圆的位置关系是()
A．相交B．外切C．外离D．内含
考
点：
圆与圆的位置关系。
分析：此题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
解答：解：由题意知，
两圆圆心距d＝3＞R－r＝2且d＝3＜R＋r＝6，故两圆相交．
应选A．
点评：此题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，那么P＞R＋r；外切，那么P＝R＋r；相交，那么R－r＜P＜R＋r；内切，那么P＝R－r；内含，那么P＜R－r．(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径)．
4．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是()
A．
直线B．
直线
C．y轴D．直线x＝2
考点：二次函数的性质。
分析：抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称
轴．
解答：解：∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)，
∴对称轴是直线x＝0(y轴)，
应选C．
点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．
5．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如下图，那么其主视图的面积为() A．6B．8 C．12 D．24
考
点：
由三视图判断几何体。
分
析：
到主视图中原几何体的长与高让它们相乘即可．
解答：解：主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．结合三者之间的关系从而确定主视图的长和高分别为4，2，所以面积为8，应选B．
点
评：
解决此题的关键是根据所给的左视图和俯视图得到主视图的各边长．
6．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形〞，那么半径为2的“等边扇形〞的面积为()
A．πB．1C．2D．
考点：扇形面积的计算；弧长的计
算。
专题：新定义。
分析：根据扇形的面积公式计算．
解答：解：设扇形的半径为r，
根据弧长公式得S＝r l＝r2
＝2
应选C．
点评：此题主要考查了扇形的面积
公式．
7．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，那么以下平移过程正确的选项是() A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
考点：二次函数图象与几何变换。
分析：根据“左加右减，上加下减〞的原那么进行解答即可．
解答：解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2，
抛物线y＝(x＋2)2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝(x＋2)2－3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
应选B．
点评：此题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8．(2021•兰州)用扇形统计图反响地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，那么落在陆地上的概率是()
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