2018届北京市东城区高三5月（二模）
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}
2|40A x x =-<，则A C R = （ ） A ．{|2x x ≤-或}2x ≥ B ．{|2x x <-或}2x >
C ．{}|22x x -<<
D ．{}|22x x -≤≤
2. 下列函数中为奇函数的是（ ）
A ．cos y x x =+
B ．sin y x x =+
C
．y D ．x y e -=
3. 若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2x y +的最大值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．
12
D ．2 4. 设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“a b a b +=+ ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5. 已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若152417,42
a a a a +=
=，则6S =（ ） A ．2716 B ．278 C. 634 D ．632 6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2n x υ===，则程序框图计算的是（ ）
A ．5432
222221+++++ B ．5432222225+++++ C. 654322222221++++++ D ．432
22221++++
7. 动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（ ）
A ．
B ． C. D ．
秦九韶著作8. 据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,...,n a a a a 和123,,,...,n b b b b ，令
{}|,1,2,...,m m M m a b m n =<=，若M 中元索个数大于34
n ，則称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作:A B ，现有三种蔬菜,,A B C 下列说法正确的是
（ ）
A ．若,A
B B
C ，则 A C B ．若,A B B C 同时不成立，则A C 不成立
C. ,A B B A 可同时不成立 D ．,A B B A 可同时成立
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9. 复数()i 2i -在平面内所对应的点的坐标为 ．
10. 在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ+=与圆()2cos 0ρθ=>a a 相切，则a = ．
11. 某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门
B 类课程，则不同的选法共有 种.（用数字作答）
12. 如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4
ABD ADB BC DC BCD ∠=∠===∠= ，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．
13.在直角坐标系中xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60 ，则OA = ． 14. 已知函数()(]{}(]{}()
1,0,2min 1,3,2,4min 3,5,4,x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩.
①若()f x a =有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是 ．
②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范闱是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数(
)2cos2(f x x a x a =+⋅∈R).
（1）若26π⎛⎫= ⎪⎝⎭
f ，求a 的值； （2）若()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递减，求()f x 的最大值.
16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园，根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，0040以下为舒适，000040~60为一般，0060以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.
（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
（2）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）
17. 如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且
60,2,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠==== 为BC 中点.
（1）求证：//FM 平面BDE ；
（2）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；
（3）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ⊥？若存在，求
CG CF
的值；若不存在，说明理由.
18. 设函数()()2(x f x x ax a e a -=+-⋅∈R ）.
（1）当0=a 时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；
（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.
19. 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为右焦点为()1,0F ，点M 时是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E .证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上.
20. 对于n 维向量()12,,...,n A a a a =，若对任意()1,2,...,i n ∈均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B 定义()1,n i
i i d A B a b ==-∑.
（1）若()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==, 求(,)d A B 的值；
（2）现有一个5维T 向量序列：123,,,...A A A 若()11,1,1,1,1A =且满足：()1,2,i i d A A i N *
+=∈，求证：该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.
(3) 现有一个12维T 向量序列：123,,,...A A A 若()112
1,1,...,1A =
且满足：()1,,,1,2,3,...i i d A A m m N i *+=∈=，若存在正整数j 使得()12
0,0,...,0,j j A A =
为12维T 向量序列 中的项，求出所有的m .
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