李冶及其著作
数学史话
李冶(1192-1279)，原名李治，号敬斋，是真定栾城人(现属河北石家庄专区藁城县)，出生于1192年，卒于1279年，享年八十八岁.李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术，使之成为中国独特的“半符号代数”.这种“半符号代数”的产生，要比欧洲早三百年左右.
李冶一生有很多著作，如《泛说》(四十卷)《敬斋古今黈》(四十卷)《壁书丛削》（十二卷)，可惜大部分著作都已失传.一直流传到现在的有《敬斋古今黈》《测圆海镜》《益古演段》.《敬斋古今黈》(十二卷本)是李冶历年的杂记，其体例与宋沈括的《梦溪笔谈》类似.
《测圆海镜》中记载了李冶的很多成果.全书十二卷，共一百七十问.所讨论的问题都是关于已知直角三角形三边上各个线段，求内切圆、旁切圆等的直径问题.《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，还推导出一些新的圆容半径公式.
《测圆海镜》第一卷的开头便列出了一张“圆城图式”(如下图)，第二卷的开头作了如下说明：“假令有圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道，其西北十字道头定为乾地.其东北十字道头定为
地；其东南十字道头定为巽地；其西南十字道头定为坤地；所有测望杂法，一一设问如后.”全书共列出了170个问题，它们都是和这一圆城图式有关的问题.
李冶假设直角三角形(即图中的△天地乾)的各边为680、320、600，算得下述十五个三角形的各边之长，并给出了各个三角形的容圆公式：
同时，李冶还算出了每个三角形的“勾股和”“勾股较(即勾股差）”“勾弦和”“勾弦较(即勾弦差）”等.值
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得特别指出的是，李冶的《测圆海镜》在“图式”“名号”之后，还列出了图中各线段之间以及各线段的和、差、乘积等之间的关系，并将它们分为七类，共692条，其中的每一条都相当于一个几何定理.
李冶把这些几何定理进行了汇总，并将其置于全书之首，命名为“识别杂记”.正如清代数学家李锐所说：“杂记数百条，乃是书之纲领，非此不能立算.”书中的许多问题在求解的过程中都要用到这些“杂记”.然而书中并没有明确介绍这些“杂记”都是怎样推得的.有人推断，它们是根据前面所述的三角形的特定边长数值(如△天地乾的三边设为680、320、600）而推算出来的.李锐就曾假设了△天地乾三边之长分别为600、360、480；780、300、720；1400、392、1344来验证“识别杂记”.经过校对、计算，李锐发现692条“杂记”大部分都是正确的，错误的只有8条.
李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给了化分式方程为整式方程的方法.他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了0-9九个数字.李治的《测圆海镜》和秦九超《数书九章》是较早使用0的两本书，它们的成书时间相差不过一年.《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多，但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李治已掌握了高次方程的解法.
《测圆海镜》记载了运用天元术列出方程的方法，而对于方程的解法——开方术，却没有作详细介绍.但是下面两点是我们必须指出的.
1.李冶所列出的方程已摆脱了秦九韶“实常为负”
的限制——即常数项无任何限制，可以是正数，也可
以是负数.如：-x 2+204x +8640=0(“明重前”第1问)4x -2640x +264960x +6156000=0(“大和”第4问).
2.当通过x =a +y 的变换求方程的根的第一位得数
a 时，若方程的常数项符号不变但绝对值增加，李冶称之为“益积”.在这里，李冶的“益积”和秦九韶的“投胎”意义相同，但和刘益所谓的“益积”完全不同.若变换后常数项符号改变，李冶称之为“倒积”或“翻法”.“倒积”和“翻法”相当于秦九韶所谓的“换骨”.此外，他还指出有所谓“倒积倒从开平方”的情况.如《益古演段》第24问：1.75x 2-108x +1449=0，通过x =40+y 的变换求得根的第一位数值40后得出的新方程为1.75y +32y -71=0，其中，常数项和一次项的符号都与原式相反，故而称之为“倒积倒从”.
《益古演段》是一本关于天元术的书籍.全书共三卷，六十四题.在该书中，李冶把天元术用于解决实际问题，研究的对象是日常所见的方、圆的面积.李治认识到，天元术是从几何中产生的，因此，为了使人们理解天元术，就需利用它与几何的关系，给代数以几何解释，而用二次方程解释几何是最方便的，于是他便选择了以二次方程为主要研究对象.李治善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中未知数的个数，化多元问题为一元问题.在解方程时，他还采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算.
虽说研究天元术并不是从李冶开始的，但李冶在发展天元术的过程中所起的作用是不容低估的.正是通过李冶的著作，我们才能对天元术有了一个比较系统的了解.
秦九韶著作——摘自《中国数学史》

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