专题五 阅读与思考
类型一 数学文化
1.我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称世界数学经典名著.它的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立.它采用按类分章的问题集的形式进行编排.其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是( )A.《九章算术》 B.《海岛算经》C.《孙子算经》
D.《五经算术》
2.(2017·山西)公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了2第一次数学危机.是无理数的证明如下:
2假设是有理数，那么它可以表示成(p 与q 是互质的两个正整数).于是=()2=2，所
2q p (q p )
2
2以,q 2=2p 2.于是q 2是偶数，进而q 是偶数.从而可设q=2m，所以(2m)2=2p 2,p 2=2m 2，于是可得p 也是偶数.这与“p 与q 是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“是有理数”的假设不成立，所以2是无理数.
2这种证明“是无理数”的方法是( )2A.综合法B.反证法C.举反例法
D.数学归纳法
3.(2018·太原一模)魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法：作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用
来求得较为精确的圆周率，祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边正多边形的周长
圆的直径
形的边数到24 576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
秦九韶著作A.2.9
B.3
C.3.1
D.3.14
4.(2018·山西晋中模拟)为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生们设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点(记为点O)到达
点A，点A 对应的数是多少?从图中可以看出OA 的长是这个圆的周长π，所以点A 对应的数是π，这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来，上述材料体现的数学思想是( )
A.方程思想
B.从特殊到一般的思想
C.数形结合思想
D.分类思想
5.(2018·自贡)回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )A.数形结合
B.类比
C.演绎
D.公理化
6.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c，设p=，则三角形的面积S=a +b +c
2
.
p (p -a )(p -b )(p -c )我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积
术)：如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c，则三角形的面积S=.
14[a 2b 2-(
a 2+
b 2-c
22
)2
]
(1)若一个三角形的三边长分别是5、6、7，则这个三角形的面积等于 ; (2)若一个三角形的三边长分别是、、，求这个三角形的面积.
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类型二 新材料学习型
7.定义：如果二次函数y 1=a 1x 2+b 1x+c 1(a 1≠0,a 1、b 1、c 1是常数)与y 2=a 2x 2+b 2x+c 2(a 2≠0,a 2、b 2、c 2是常数)满足a 1+a 2=0,b 1=b 2,c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=-x 2+3x-2的“旋转函数”，小明是这样思考的：由函数y=-x 2+3x-2可知a 1=-1,b 1=3,c 1=-2，根据a 1+a 2=0,b 1=b 2,c 1+c 2=0求出a 2,b 2,c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面的问题:(1)写出函数y=-x 2+3x-2的“旋转函数”;
(2)若函数y 1=x 2-x+n 与y 2=-x 2+mx-3互为“旋转函数”，求(m+n)2 019的值;
4n
3(3)已知函数y=2(x+1)(x-4)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，请指出图象经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y=2(x+1)(x-4)是否互为“旋转函数”.
8.(2017·太原一模)请阅读以下材料，并完成相应的任务.
如图1,A,B 两点在反比例函数y=(x>0)的图象上，直线AB 与坐标轴分别交于点C,D，求k
x 证:AD=BC.
下面是小明同学的部分证明过程:
证明：如图2，过点A 作AM ⊥y 轴于点M，过点B 作BN ⊥x 轴于点N.
设直线AB 的表达式为y=mx+n,A,B 两点的横坐标分别为a,b，则解得
{k
a
=ma +n,k b
=mb +n,{
m =-
k ab ,n =k (a +b )ab
.
∴直线AB 的表达式为y=-x+.
k ab k (a +b )
ab 当x=0时,y=,∴点D 的坐标为,k (a +b )ab (
0,k (a +b )
ab
)
∴DM=
-=……k (a +b )ab
k a k
b (1)请补全小明的证明过程;
(2)如图3，直线AB 与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A 和点C，与x 轴交于点D，连接k
x (1
2,9)
OC.若点B 的坐标为(0,10)，则点C 的坐标为 , △OCD 的面积为 .
9.(2017·山西一模)阅读与思考
婆罗摩笈多(Brahmagupta)，是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下:
已知：如图1，四边形ABCD内接于☉O，对角线AC⊥BD于点P,PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证:CN=DN.
证明：在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC,
∴……
(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分;
(2)已知：如图2,△ABC 内接于☉O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2，点D 在☉O 上,∠BCD=60°，连接AD，与BC 交于点P，作PM ⊥AB 于点M，延长MP 交CD 于点N，则PN 的长为 .
10.(2017·山西模拟)请阅读材料，并完成相应的任务.
已知点D 在△ABC 的边BC 上(点D 不与点B,C 重合)，点P 是AD 上任意一点，连接BP,CP.如图1，若=，显然有S △ABP =S △ACP .
BD BC 1
2如图2，若=，那么S △ABP 与S △ACP 之间的数量关系又是怎样的呢?下面是小李同学的部分求
BD BC 1
3解过程:
如图3，作BM ⊥AD 交AD 的延长线于点M，作CN ⊥AD 于点N.∴∠BMD=∠CND=90°.在△BMD 和△CND 中,
∵∠BMD=∠CND,∠BDM=∠CDN,∴△BMD ∽△CND.……
(1)请把小李同学的求解过程补充完整;
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