中国古代数学的辉煌成就
一、最早运用勾股定理
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“……商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，于是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。”这就是勾股定理的最早的运用，尤
其在3000多年前，更是非常了不起的成就。而在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯（约公元前580-前500年）定理。没有史料可以说明毕达哥拉斯得到和证明了这一定理。通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。
据传说，有次毕达哥拉斯应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言。但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖。毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇.... 于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。
即便是按此传说推算，我们在运用勾股定理上无疑都是最早的。当然对勾股定理的演绎证明，我们可能要晚一些。中国最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，证明的技巧与前面的传说如出一辙。
二、最早的数学著作和八元数模型
数与形是数学研究的基本对象。从这一点上看，成书于西周(约公元前11世纪—前256)前期的《易经》是我国古代在人类数学史上的伟大创举。《易经》是历史上有文字记载以来第一本数学著作。比成书于公元前三世纪古希腊欧几里得的《几何原本》至少早三百年。《易经》是我国数学发展史的渊源。三国时期的数学家刘徽(约225--295)认为，数学来源于伏羲画八卦，八卦的基本原理是“作九九之术以合六爻之变”，由此他“观阴阳之割裂，总算术之根源”，而为《九章算术》作注。
最近，又发现，八卦图中的每一个卦图代表一个八元数的乘法算式，于是我们可以在古老的伏羲八卦和西方人1845年才发现的八元数之间建立数学意义上的同构。即在两者之间，建立一一对应，而且这种对应保持乘法运算。对应次序浑然天成且不能随意改变。我们的结论是：在同构意义下，八卦图就是八元数。八卦图可以看成是八元数的“量子化”或“数学模型”。
三、最早使用位置计数法和应用十进制
所谓位置计数法是指同一个数字由于它所在位置的不同而有不同的值。例如，327中，数字3表示三百，2表示二十。用这种方法表示数，不但简明，而且便于计算。采用十进位置制计数法，以我国为最早。在殷墟甲骨文就已经对此作了记载，它用9个数字、四个位置值的符号，可以表示出大到上万的自然数，已经有了位置制的萌芽。到春秋战国时期，便已能熟练地应用十进制的算筹记数法，这种方法
和现代通用的二进制笔算记数法基本一致，这比所见最早的印度（公元595年）留下的十进制数码早一
千多年。
四、最早提出负数的概念
中国的数学专著《九章算术》，是世界上杰出的古典数学著作之一，这本书中就已引入了负数概念。这比印度在公元7世纪左右出现的负数概念，约早六百多年。欧洲人则在10世纪时才对负数有明确的认识，比中国要迟一千五百多年。
五、最早系统地论述了分数运算
成书不晚于公元前2世纪西汉时期的中国最早的数学著作《周髀算经》中，已用到了相当繁杂的分数运算，并记载源于周朝时期的商高。发展到公元前1世纪，经过张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则。从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、约分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作。
分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度。实际上，印度在七世
纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使
与刘徽的时代相比，我们也要比印度早400年左右。
六、最早提出联立一次方程的解法
秦九韶著作中国最早提出联立一次方程组的解法，也是在《九章算术》中出现的。同时还提出了二元、三元、四元、五元的联立一次方程组的解法，这种解法和现在通用的消元法基本一致。在印度，多元一次方程的解法最早出现在7世纪初印度古代数学家婆罗门笈多（约在公元628年）的著作中。至于欧洲使用这种方法，则要比中国迟一千多年了。
七、最早论述了最小公倍数
在世界上，中国最早提出了最小公倍数的概念。由于分数加、减运算上的需要，也是在《九章算术》中就提出了求分母的最小公倍数的问题。在西方，到13世纪时意大利数学家斐波那契才第一个论述了这一概念，比中国至少要迟一千二百多年了。
八、最早研究不定方程
中国最早研究不定方程的问题，也是在《九章算术》这部名著中，书中提出了解六个未知数、五个方程的不定方程的方法，要比西方提出解不定方程的丢番图大概早三百多年。
九、最早运用极限概念
大约在公元3世纪，中国数学家刘徽在他的不朽著作《九章算术注》中，讲解计算圆周率的“割圆术”和开方不尽根问题，以及讲解求楔形体积时，最早运用了极限的概念。虽然欧洲在古希腊就有关于这一概念的想法，但是真正运用极限概念，却是在公元17世纪以后
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