高考中数学文化的考查一三角函数中的数学文化题
一．考点解读：
三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．
二．数学文化的典型题：
（1）赵爽弦图：
1700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明.该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵.既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等。
（2）《九章算术》：
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，
矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝1
2
(弦×
矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差。
（3）《数学汇编》：
早在4世纪，古希腊数学家帕波斯在其代表作《数学汇编》第3卷第2部分就给出了算术平均、几何平均、调和平均三种平均数的理论．嵌入几何意义考查不等式，同时以平面几何为载体，考查判断三角形相似，及由三角形相似得到对应线段成比例求出线段的比例关系，凸显经典数学名题的深邃内涵和命题专家的过人之处．
（4）割圆术：
我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π
秦九韶著作
的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．
例1(2007北京高考)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.那么cos 2θ的值等于________．
思路点拨：本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的
三角函数值确定角θ满足的条件，依据相关的三角函数公式进行计算即可．
解题分析：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25.
∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6， ∴两条直角边的长分别为3，4，
又∵直角三角形中较小的锐角为θ，
∴cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725
. 正确答案：725
正确答案：选D
例3：设a＞0，b＞0，则
2ab
a＋b
为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，
AC＝a，CB＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段________的长度是a，b的调和平均数．
思路点拨：将线段OD，CD融入相关直角三角形中，利用三角形相似进行计算，再结合调和平均数的定义即可得到正确结果．
解题分析：因为Rt△DEC ∽ Rt△DCO，
所以DE
CD
＝
CD
OD
，从而DE＝
CD2
OD.
依题意可得OD＝a＋b
2
，CD＝ab，
所以DE＝2ab
a＋b
，
即线段DE的长度是a，b的调和平均数．
正确答案：DE
三．课后检测：
1．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
3．【2018广东惠州高三4月模拟】如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 意思是：有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的
距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A. B. C. D.
4. 【2018贵州黔东南高三一模】我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一 章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”. 意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆 的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）
A. 3步
B. 6步
C. 4步
D. 8步
5．【2018贵州遵义高三联考二】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a b c 、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若a b c >>，则
222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，现有周长为1027+的ABC ∆满足sin :sin :sin 2:3:7A B C =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为_______．
6.（2016年湖北八校联考）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞5.45 4.55 4.2 5.8
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