数学史知识提要
《数学简史》知识提要
绪 言
1 数学史的意义及研究对象
数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的产生、发展及其规律的科学。主要对象包括：重要数学成果、重大数学事件和重要数学人物，及其与社会、政治、经济和一般文化的联系。
2 数学文化的特点
数学史在整个人类文明史上有着特殊地位，这是由数学的文化特点决定的。数学文化特点有以下几个方面：
（1）数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。（2）数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。（3）数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。
3历史上对数学的认识
亚里斯多德：量的科学；笛卡儿：顺序与度量的科学；恩格斯：空间形式与数量关系；美国学者：关于模式的科学。
第一章 早期数学
主题：以实用为主的早期数学的形成与发展
早期数与形概念产生于“河谷文明”。兴起于埃及（尼罗河）、美索不达米（亚底格里斯河和幼发拉底河）、中国（黄河和长江）、印度（印度河和恒河）等河谷地区的古代文明，史称“河谷文明”。
1数与的起源
（1）早期记数：手指计数、石子记数、结绳记数和刻痕记数。
（2）早期的记数系统：除了巴比伦采用60进制，玛雅采用20进制，其他文明诸如：印度、中国、希腊等均属十进制数系。
（3）几个文明地区几何学来源：古埃及 测地和测量；古印度 宗教；古中国 天文观测。
2古埃及
（1）主要文献：象形文字；两部纸草书：莱茵德纸草书（84个问题）和莫斯科纸草书（25个问题）。
（2）主要成果：十进制为基础的记数系统，没有位值概念；单位分数是埃及数学一个重要而有趣的特；几何问题大都与土地面积和谷堆体积计算有关，特别是正确的平截头方锥体体积公式是一个突出贡献。
（3）古代埃及早期数学发展的特点：古代埃及数学是实用数学；古代埃及人没有命题证明的思想，不过他们常常对问题的数值结果加以验证；古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似关系往往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的彩；古代埃及的数学发展具有和它文明一样的静止特性。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。
3美索不达米亚
（1）文献：楔形文字；泥版文书，特别是普林顿322泥版文书中的“勾股数组”显得突出。
（2）主要成果：60进制的记数系统，创造了位值记法（位值原理是他们的一项突出成就），位值原理（同一个记号在数中的相对位置而赋予不同的值），没有零号；利用数表进行计算，使计算更加简捷，代数成就突出（讨论了线性方程和简单的二次、三次方程）；几何与测量相联系。
（3）古代美索不达米亚地区数学的特点：古代美索不达米亚数学主要是解决各类具体问题的实用知识；处于原始算法积累时期；几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。巴比伦泥版文书中汇集的各种图形面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。
4 中国
（1）文献：甲骨文；《老子》、《周易》、《墨经》。
（2）成果：十进制；筹算；河图洛书；八卦与组合数学思想；《墨经》中的几何定义和逻辑思想；极限、运筹学思想等的萌芽。
第二章 古代希腊数学
主题：论证数学的形成与发展
1论证数学的开端
论证数学的鼻祖：泰勒斯（前625－前547）和毕达哥拉斯（前580－前500）。
（1）泰勒斯：发现了许多几何命题（圆被直径平分……）；开创了几何命题的逻辑论证；天文测量。他的逸闻趣事具有很好的教育意义。
（2）毕达哥拉斯及其学派致力于哲学与数学的研究，提出了“万物皆数”是信念，推动了证明的逻辑信念的形成。
主要成果：发现毕达哥拉斯定理及其数组；几何定理的证明；正多边形（正五和正十边形）与正多面体作图；形数（把数看成形进行研究）；完全数（一个整数互为另一个的不包括自身的因数之和）；亲和数（两个整数互为另一个的因数（不包括自身）之和）；不可公度量（实质是证明了是无理数）的发现。（注：什么是“可公度量”？对于任何两条给定的线段，总能到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。）
2秦九韶著作雅典时期的学派活动
（1）诡辩学派，主要贡献是三大几何问题作图的研究，指在“尺规（没有刻度的直尺和圆规）作图”的前提下，完成下列作图。
化圆为方：作一正方形，使其面积等于一已知圆。
倍立方体：求作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
三等分角：分任意角为三等分。
希腊数学家安提丰在研究“化圆为方”中提出了“穷竭法”思想。在解决“倍立方体”问题中，柏拉图学派的梅内赫莫斯发现了“圆锥曲线”。在解决“三等分角”问题中，诡辩学派的希比阿斯发明了“割圆曲线”。但是古希腊人都无法严格遵循尺规作图的限制，直到19世纪数学家用现代数学知识证明了三大几何问题不能用尺规作图解决，在代数方程论基础三证明倍立方和三等分角不成立，在证明的超越性基础上证明化圆为方的不可能性。
（2）埃利亚学派，以芝诺为代表，主要贡献为芝诺悖论关于无限性概念的探索，他们提出
了四个“悖论”（即：两分法，阿基里斯，飞箭不动，运动场），将无限性概念的困难揭示无遗，前两个针对事物无限可分的观点，后两个针对不可分无限小量。
（3）雅典学派（柏拉图学派）：分析法和归谬法。
（4）亚里斯多德学派：创立逻辑学，为演绎几何体系形成奠定了方法论的基础。
3亚历山大时期（全盛时期）
主要代表人物：欧几里得、阿基米德和里奥斯
（1）欧几里得：
主要代表作《原本》（又称为《几何原本》）。他用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书分为13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。《原本》是数学史上的一座理论丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想。（注：现代的公理化方法的确立是希尔伯特19世纪末完成的）。《原本》成为最广泛流传的的学术著作，影响深远。《原本》不仅是传世的教育经典，而且成为后世的学术典范。
《原本》的公理化思想：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。这就是所谓的公理化思想。
（2）阿基米德：
著作众多，成就涉及数学、力学（被称为：“力学之父”）和天文学。数学著作集中探讨面积和体积计算相关的问题：阿基米德公式（海伦公式）；椭圆面积；球表面积；用“平衡法”求球的体积公式（最早的）。
（3）尼奥斯：
主要贡献涉及几何学和天文学，主要著作为《圆锥曲线论》，共8卷，487个命题。最主要的是数学成就是创立了完美的圆锥曲线理论，广泛讨论了圆锥曲线的性质，甚至包含了现代微分几何和射影几何的思想和萌芽。里奥斯第一次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线，并命名椭圆、双曲线和抛物线。《圆锥曲线论》是希腊演绎几何的最高成就，里奥斯用纯几何的形式，推出了今天解析几何的主要结论。
4亚历山大后期（希腊数学的衰落）
特点：从论证数学转向“算术”“三角”及重实用的数学
（1）海伦：主要讨论几何图形的面积和体积计算，如海伦公式；光反射定理等。
（2）托勒密：主要成就在三角学，代表作《天文学大成》；托勒密定理和弦表（第一个有明确的构造原理并流传于世系统的三角函数表）；第一个怀疑“平行线公设”。
（3）梅涅劳斯定理（与塞瓦定理）
（4）丢番图：《算术》用纯分析的途径处理数论（不定方程）与代数问题（符号化），是希腊算术与代数成就的最高标志。
（5）帕波斯：《数学汇编》主要荟萃总结前人的成果，同时也有创造性的成果。许多宝贵资料正是《数学汇编》的记载得以保存。
5古希腊数学的成就与特点：
（1）古希腊数学成果众多，人才辈出，创立了几何学、三角学，奠定了数论基础以及极限思想的萌芽；（2）开创命题论证的理论数学范式，使数学成为一门纯粹的抽象性科学；（3）开创了公理化理论体系，建立了定理证明的严密的逻辑结构；（4）形成了演绎思维的特征，奠定了探索世界的理性精神。
第三章 中国古代数学
主题：数学的另一源头——算法数学的发展
我国传统数学的特点：
（1）追求实用，属于实用数学，奠定了我国传统数学典籍以“问题集”的编排框架。《九章算术》是一本数学问题集著作，问题针对社会生活，生产实践中应用问题，反映了我国传统数学与的人们生活实际需要密切联系。同时，对问题进行分类形成章目，以问题集的形式，形成了“问-答-术”的编排框架。
（2）着重算法的概括，寓理于算。我国传统数学以“术”概括算法，具有强烈的算法特征，不讲究命题的形式推导。我国传统数学创造了大量结构复杂、应用广泛的算法。算法不只是单
纯为了计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。
（3）模式（模型）化思想方法突出。我国传统数学的算法反映了一类问题的解决，具有广泛适用性，显示了模式（模型化）的数学思想方法。
（4）归纳思维模式突出。我国传统数学的思维方式不能简单看成是经验法则，而是形成了一种归纳思维方式。成果既是归纳思维模式的结果，又反映了归纳数学思维模式的特征。
我国数学发展三次发展高潮：两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，宋元时期达到中国数学顶峰。
1两汉时期（前2C-3C）
主要著作：《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》。（1）《算数书》：1983－1984年，在湖北江陵张家山的汉墓中出土《算术书》，是早于《九章算术》的数学书（不晚于公元前140年成书）。其中包含丰富的数学知识，而以分数运算最为突出。
（2）《周髀算经》（公元前2世纪西汉之前）
这是我国从西周以来汇集起来有关天文和数学知识的早期著作，作者不详。数学知识主要有分数运算、勾股定理及其在天文学上的运用。其中用文字对勾股定理完整表述最为突出，时间可以推溯至约公元前7-公元前6世纪。这是我国勾股定理发现最早证据。
中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是三国时期赵爽，他在注《周髀算经》中用“弦图”来证明勾股定理。2002年，北京世界数学家大会的徽标就是以“弦图”为基础制作的，以彰显其重要历史意义。
（3）《九章算术》（公元前1世纪之前）
它是我国先秦至西汉中叶长期由众多学着编撰、整理、修改和增删而形成的一部数学著作，是中国传统数学最重要的著作。
《九章算术》包含了246个问题，分为：方田、粟米、衰分、少广、商工、均输、盈不足、方程、勾股，九章。数学内容包括了：数的运算（包括分数的四则运算）、比例（比率）算法、开方算法、线性插值模型的盈不足术、方程、面积、体积、勾股等算术、代数、几何等大部分初等数学知识。其中，以“方程术”、“开方术”、“正负术”最为突出，具有世界意义。

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