三角学的起源与发展
三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展
三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃与人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)
继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表与若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以与球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学围的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。
现代的三角学主要研究角的特殊函数与其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。
贰、三角函数的演进
正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆的一些线段的长。
D
C
B
0
A
P
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB为的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图），而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
正弦、余弦
在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径，则有
称此定理为正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与証明的。中亚细亚人
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与証明的。中亚细亚人
阿尔比鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论証了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。
托勒密（ Claudius Ptolemy ）的《天文学大成》第一卷
除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：
它给出一个圆从（）° 到180°每隔半度的所有圆心
A
M
α α α α
BA
O
角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。这样，以符号 crda 表示圆心角ａ所对的弦长，例如 crd 36°= 37p4'55"，意思是：36°圆心角的弦等于半径的（或37个小部分），加上一个小部分的，再加上一个小部分的，从下图看出， 弦表等价于正弦函数表，因为公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限间隔3°45'的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，然后据 2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后，
再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概
念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分
数式。
2.正切、余切
著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表， 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表， 而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。 14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表， 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表， 而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。 14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组
织了大规模的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30°到45°之间相隔为1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。
在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。
3.正割、余割
正割﹝secant﹞与余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔
─威发首先引入。 sec这个略号是1626年荷兰数基拉德
﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用
才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。
欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切与正割值表。当时还没有
对数，更没有计算机。全靠笔算，任务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。
4.三角函数符号
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号， 但当时并无
函数概念，于是只称作三角线（ trigonometriclines）。他以sinus 1marcus 表示正弦，以sinus 2marcus表示余弦。
而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他于1583年创立以“tangent”（正切）与“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan. ”,“sec. ”,“sin. ”,“tan. ”,“sec. ”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号一样。后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。
使用者 | 年代 | 正弦 | 余弦 | 正切 | 余切 | 正割 | 余割 | 备注 |
罗格蒙格斯 | 1622 | S.R. | T. (Tang) | T. cpl | Sec | Sec pl | ||
吉拉尔 | 1626 | tan | sec. | |||||
杰克 | 1696 | s. | cos. | t. | cot. | sec. | cosec. | |
欧拉 | 1753 | sin. | cos. | tag(tg). | cot. | sec. | cosec | |
格 | 1767 | sin. | cos. | tan. | cot. | Ⅰ | ||
巴洛 | 1814 | sin | cos. | tan. | cot. | sec | cosec | Ⅰ |
| 勾股定理的历史 施泰纳 | 1827 | tg | Ⅱ | |||||
皮尔斯 | 1861 | sin | cos. | tan. | cotall | sec | cosec | |
奥莱沃尔 | 1881 | sin | cos | tan | cot | sec | csc | Ⅰ |
申弗利斯 | 1886 | tg | ctg | Ⅱ | ||||
万特沃斯 | 1897 | sin | cos | tan | cot | sec | csc | Ⅰ |
舍费尔斯 | 1921 | sin | cos | tg | ctg | sec | csc | Ⅱ |
注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号 我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。 | ||||||||
1729年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。1736年欧拉以At 表示反正切，一年后又以Asin表示 于单位圆上正弦值相等于的弧。
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