高中数学必修5《正弦定理--融入数学史的教学》教学设计
§1．1．1正弦定理--融入数学史的教学
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
一、问题引入
  (1)在我国，古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？
    早在１０世纪，阿拉伯天文学家阿尔 · 库希（ａｌ－Ｋｕｈｉ）就研究出了月亮的测量方案，编制了月亮距离的测量方法。
  (2)在20世纪初，由于航海的发展需要，意大利数学家卡瓦列里要测量海上A,B两不相邻岛屿之间的距离, 他只有米尺和量角设备,他是怎样测出它们之间的距离的?
二、定理推导证明
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,                                          A
则勾股定理的历史                      b        c
从而在直角三角形ABC中，            C      a      B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，                          C
同理可得，                                  b              a
从而                              A        c        B
                                                          (图1．1-3)
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
三、[探索研究] ——————正弦定理的完整证明                                                 
作为高中数学必修5重要内容的正弦定理，我国发行的各类数学教科书中采用的证明方法几经变迁，先后采用过向量法、作高法、面积法等证明方法，现行人教Ａ版教科书是以勾股定理作为知识的生长点，从特殊到一般，猜想出正弦定理，然后再通过作高将问题转化为直角三角形中三角比的问题，过程自然、简洁．遗憾的是，这一过程没有给出正弦定理的完整形式，没有和外接圆直径做联结，虽然在课后习题中要求学生证明了 ａ ： ｓ ｉｎ Ａ ＝２ Ｒ ，但学生还是会有疑问：这个定理为什么会叫正弦定理？怎么会想到外接圆？
１、对正弦定理的历史回顾。三角学是一门古老的数学分支，古代希腊学者早就开始了对三
角形边角关系的关注，随后的勾股定理的发现更是数学史上的一件盛事，传说毕达哥拉斯为此宰杀百牛设宴以示庆祝，而作为反映一般三角形边角关系的正弦定理，其发展过程则要漫长得多．
2、从弦表谈起 现代意义下的三角学这个词创于古希腊天文学家希帕科斯（Ｈｉｐｐａｒｃｈｕｓ，约１９０Ｂ．Ｃ－１２０Ｂ． Ｃ），他为了解决天文学中的计算问题，需要一个三角比率表，为此他将每一个三角形（包括球面三角形）都当作是某个圆的内接三角形，这样一来，三角形的边均变成圆的弦。
3、正弦定理的提出和证明。一般认为，最先提出并证明正弦定理的是阿拉伯学者阿布．瓦法（Ａｂｕｌ －Ｗｅｆａ，９４０－９９８），他首先提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁· 图西（ Ｎａｓｉｒａｌ －Ｄｉｎａｌ －Ｔｕｓｉ，１２０１～１２７４）给出的．
4、梅文鼎给出的证法［ ４］ 前文所述的两个证明均以某线段长为半径作两个等圆，利用圆中的半弦表示三角形内角的正弦，如果将三角形的外接圆作出，利用外接圆的半弦亦即边长的一半表示三角形的内角正弦，则正弦定理几乎是不证自明的，我国清代数学家梅文鼎在他
的著作 《平三角举要》中便采用了这种方法，限于篇幅和学情，这里只给出锐角三角形的情形． 为了便于书写， 我们将原图中的甲、 乙、丙、丁分别用 Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｏ
这种证法不仅是简洁证明的典范，而且给出 了正弦定理的完整形式．
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
思考：正弦定理是否可以用其它方法证明？这个定理为什么会叫做正弦定理?它与弦有关吗？
四、[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
五、[例题分析]
例1、（角角边问题） 在 △ＡＢＣ 中，ａ、ｂ、ｃ分别为内角Ａ、Ｂ、Ｃ 的对边，已知ｂ＝２，
Ｂ＝３０°，Ｃ＝４５°，解三角形。
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
六、课堂练习
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
  巩固练习（突破难点）
七、探究课题引入时问题(2)的解决方法
八、 课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，（大边对大角）。
九、课后作业：教材P10第2题.
§1．1．1正弦定理
   
    正弦定理                          定理推导证明
    例1、例2                          课堂练习
      小结                            作业布置
●板书设计

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