“余弦定理”复习课:通过数学史体现综合性
“余弦定理”复习课：通过数学史体现综合性
第一篇：“余弦定理”复习课：通过数学史体现综合性
【编者按】 从2014年第5期开始，我们连续刊发了华东师范大学汪晓勤教授及其研究团队开发的HPM案例，为数学教学如何融入数学史提供了“例子”，倍受读者朋友们的欢迎。本期呈现的是顾彦琼、汪晓勤两位老师的研究成果。
顾彦琼1，汪晓勤2（1.上海市南汇中学，201399；2.华东师范大学数学系，200241）
摘要：新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。通过对历史材料的分析和对课前学情的调查，在复习课中以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；从勾股定理开始，自然深入、逐步推广，引出推导余弦定理的三种欧氏几何方法、一种平面三角方法、一种向量几何方法和一种解析几何方法，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的习惯，充分体现知识的综合性。关键词：HPM 余弦定理 复习课 教学设计
数学复习课是数学教学中不可或缺的重要环节，它具有重复性、概括性、系统性和综合性等特
点；数学复习课要在重复和概括的基础上进行梳理，使数学知识和数学思想方法系统化、综合化。在数学复习课中，兼顾知识的巩固提高和教学的新鲜活力，乃是一线教师孜孜以求的目标；但是，在课业负担繁重且有考试压力的中学数学教学中，要在协调教学进度的同时让复习课有文化内涵，使学生在其中探奇寻乐，似乎已然成为遥不可及的追求。在沪教版高中数学教材的设计中，“余弦定理”的新授课被安排在高一第二学期，主要教学目标是，掌握余弦定理的内容及其证明，以及运用余弦定理解决“边角边”和“边边边”问题。但是，新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。受陈敏晧老师的“余弦定理”教学设计的启发，我们尝试将数学史运用于“余弦定理”复习课中，以体现知识的系统性、综合性。
一、历史材料分析
余弦定理作为勾股定理的推广，最早出现于欧几里得的《几何原本》第2卷中： 命题12在钝角三角形中，钝角对边上的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边延长线作垂线，垂足到钝角（顶点）之间的一段所构成。命题13在锐角三角形中，锐角对边上的正方形面积小于该锐角
两边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由另一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边作垂线，垂足到原锐角（顶点）之间的一段所构成。
命题12相当于说，如图1所示，在钝角△ABC中，a2=b2+c2+2cm；命题13相当于说，如图2所示，在锐角△ABC中，a2=b2+c2－2cm。欧几里得利用勾股定理对上述命题进行了证明。
公元2世纪，托勒密（C.Ptolemy，约100～170）在其《天文大成》中利用上述命题解决了“已知三角形三边，求角”的问题，但并未明确提出余弦定理。不过，利用托勒密定理，我们的确能轻易证明余弦定理。
16世纪，德国数学家毕蒂克斯（B.Pitiscus，1561～1613）在其《三角学》中利用几何方法求出了图2（其中∠C为△ABC的最大角，可以是钝角）中的m：m=(b2+c2－a2)/2c。毕蒂克斯于1595年首次将“三角学”（trigonometry）作为书名，他的方法成为了今天所谓“无字证明”的蓝本。之后，法国数学家韦达（F.Viète，1540～1603）明确给出了余弦定理的比例形式：2ab∶（a2+b2－c2）=1∶sin（90°－C）。
20世纪中叶以前，西方大多数三角学教材沿用了欧几里得的方法来证明余弦定理，也有一些
教材采用了毕蒂克斯的方法，或以一组射影公式a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA为出发点。英国数学家德摩根（A.de Morgan，1806～1871）则在其《三角形基础》中别出心裁地利用和角公式和正弦定理来推导余弦定理。到了20世纪50年代，一些教材开始采用解析几何的方法；而向量方法的出现，则是相当晚近的事了。数学史告诉我们，余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在18～19世纪的许多三角学著作中，它只是以几何定理的身份出现；在从欧几里得时代直到20世纪上半叶的两千余年间，人们普遍采用几何方法对余弦定理进行推导，正是包括今天所谓“无字证明”在内的那些几何方法，才使其展现出了迷人的魅力。因此，以勾股定理为起点，用不同的几何方法来推导余弦定理，以弥补新授课中解析几何方法的不足，是历史带给我们的“余弦定理”复习课的教学启示。而且，不同于新授课，复习课中因为学生已经学过余弦定理及其他相关内容，所以对于数学史的运用可以更加广泛、自由。
二、课前学情调查
课前，我们通过问卷，对所教的两个班级共84名学生进行调查。所设计的问题是：（1）请写出余弦定理；
（2）请说明余弦定理可以用来解决哪些解斜三角形问题；（3）请证明余弦定理。
对于前两个问题，84名学生中的82名都能作出正确回答。对于第三个问题，则少有学生能正确给出完整的证明：其中41名学生直接回答“不知道”“不会”或“不清楚”；11名学生记得用平面向量的方法证明，但是只有4名学生能证明出来；13名学生记得用两点之间的距离公式证明，但是有5名学生联想到单位圆（通过访谈了解到，这是由于受到和角余弦公式证明的影响），只有3名学生能正确证明；其余学生的证明都不着边际。
调查表明：学生对余弦定理的解析几何证明方法和向量证明方法印象不深；学生有轻过程、重结论的倾向，即只求“鱼”而不得“渔”。
以下是我们对一名数学成绩一直比较优秀的男生的访谈片段： 师 你还记得余弦定理吗？
生 让我想一下，是用来解斜三角形的那个东西吗？ 师 是的。你还记得是什么吗？（学生用纸笔写下来。）师 你能证明一下吗？
生 哦，我不记得了，一点儿也不记得了。师 真的吗？请你再想一想。
生 好像是要建立平面直角坐标系的。
师 那么，你可以把证明过程写下来给我看一下吗？
生 哦，那太难了！老师，你为什么要问我这样的问题？ 师 因为我早上做了问卷调查，本来以为他们会用比较淳朴的方法做，但没想到他们都没做出来。
生 哦，老师，你要理解他们。在这种应试教育下，能背出公式来，已经很不容易了。师 可是我觉得，最近才刚学过一个新工具（平面向量），印象应该会深刻一点啊？（学生尝试着写出证明过程，但数十分钟后，仍然未能证明。）
访谈表明，数学成绩优秀的学生对已学过的余弦定理的证明同样无从入手。
三、教学设计与实施
（一）提出问题，激发兴趣 课始，教师开门见山地说道：“我们在高一第二学期学习了余弦定理，但课前的问卷调查却表明，同学们普遍知道余弦定理是什么，可以用来解决什么样的问题，却不知道怎样去证明余弦定理。高二第一学期即将结束，与高一相比，我们已经储备了更丰富的数学知识，证明余弦定理的方法也变得更多样了。本节课中，就让我们一起来回答以下两个问题。”然后，教师出示本课的主旨问题： 问题1我们可以用怎样的方法来证明余
弦定理？ 问题2比较各种方法，我们更喜欢哪一种？
（二）以史开道，回归起点
为了回答上述问题，教师首先要求学生回忆勾股定理的证明。少数学生说“模糊地记得”，多数学生则表示，初中时老师也只是一笔带过，直接给出结论而并不作具体的证明。于是，教师说道：“欧几里得很早就给出过勾股定理的证明。这一证法，被阿拉伯人形象地称为‘新娘的座椅’。”然后，展示勾股定理的欧几里得证明：
如图3所示，分别在直角△ABC的三边上作正方形ACDE、ABFG和BCHI，作CL⊥GF于L。连接BE和CG，则由AE和BC的平行关系，可得正方形ACDE的面积等于△AEB的两倍；由AG和CM的平行关系，可得长方形AMLG的面积等于△ACG的两倍。而△AEB≌△ACG，故知正方形ACDE和长方形AMLG的面积相等。同理，可得正方形BCHI与长方形BMLF的面积相等。
接着，教师引导道：“如果△ABC是斜三角形，那么其三边又有怎样的大小关系呢？”学生尝试、讨论之后，教师说道：“欧几里得在《几何原本》第2卷中将勾股定理进行了推广，分别给出了钝角三角形和锐角三角形三边之间的关系。”然后，展示余弦定理的欧几里得证明：
勾股定理的历史如图1和图2，由勾股定理，分别得a2=h2+（c+m）2=h2+m2+c2+2cm =b2+c2+2cm，a2=h2+（c－m）2=h2+m2+c2－2cm=b2+c2－2cm。
（三）对话先哲，推陈出新 在欧几里得证明的基础上，教师问道：“欧几里得对余弦定理的证明有什么不足？怎么将其改进成我们现在的统一的形式呢？”由此，引导学生利用三角函数对欧几里得的证明稍加改进： 在图1中，有m=－bcosA，h=bsinA；在图2中，有m=bcosA，h=bsinA。所以，在图1和图2中，由勾股定理，均可得（bsinA）2+（c－bcosA）2=a2，整理得a2=b2+c2－2bccosA。接着，教师引导道：“欧几里得只是利用勾股定理来证明余弦定理。而我们能否利用他证明勾股定理的面积方法来推导余弦定理呢？”学生跃跃欲试，师生共同完成以下证明： 如图4所示，△ABC为锐角三角形，仿照欧几里得的做法，在其三边外侧分别作正方形ACDE、ABFG和BCHI；分别从三个顶点向对边作垂线，垂足分别为K、M和N，与正方形另一边的交点分别为L、P和Q。于是，SAMPE=SAKLG，SBNQI=SBKLF，因此，c2=SAMPE+SBNQI=a2+b2－（SMCDP+SNCHQ）。而又有SMCDP=b（acosC）=abcosC，SNCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2 －2abcosc。

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