中国古代数学之勾股术
摘要
我国是一个具有悠久而光辉的历史的国家，在科学领域里曾经创造了高度文明，对人类作出过极其辉煌的贡献。其中有许多发明，对世界的历史发生了深远的影响（例如：指南针、造纸术、火药及印刷术四大发明就具有重大的世界意义。）。数学作为自然科学的皇后，它是科学技术发展的基础，也是人类理解自然、征服自然的有力武器。数学曾经在历史上对科学起过推动作用。在我国丰富多彩的科学技术历史宝库中，数学是一颗特别璀璨的明珠，几千年来一直在闪闪发光。我国数学对世界人类的贡献和影响，也是极其深远的。
我国古代数学，在世界上一直居于主导领先地位，从记数、分数、小数、正负数及无限逼近任一实数的方法以至解联立方程组与二次、高次数字方程等，老师中国古代数学家的发明创造.。在我国古代的数学思想，与希腊、印度截然不同。我国数学一开始便注重实际，注重数和形的结合，从实践中逐步发展完善起来，数和形的概念是从客观世界中发展得来的，因此，世界上数字发展史最长的国家要算是中国。现在我们来谈谈我国古代数学中的勾股术。
关键词：周髀算经；勾股定理；勾股圆方图；
1 引言
当年商高提出直角三角形的三边“三四五关系”时，他曾经指出，大禹治水时用过“勾股术”，但他却没有详细叙述禹是在什么情况下，怎样运用勾股术的。后来赵爽在为《周髀算经》作注时具体指出：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏势之间（昏势——困于水灾），使东注于海而无浸逆（逆——溺），乃勾股之所由生也。”他认为，勾股术主要用于测量，有了这种方法，便可以“望山川之形，定高下之势”。但是赵爽并不满足于商高答问的内容，因为前人并末对商高定理做出严格证明，这是一个很重要的不足之处。于是赵爽开始对勾股术的研究。
2勾股术的证明及应用
§1 勾股定理的证明
赵爽以过悉心研究，设计出五个图样用以说明勾股弦的关系。如下图：
弦图1 弦图2 弦图3
并实图
弦图4 图1 黄
黄 朱
朱 朱 朱 勾实 股实 勾实 股实 勾 股 股弦差 勾弦差 黄 弦 股 勾 勾
以上就是《弦图》，他作出《弦图》之后并写了一篇解释文《勾股圆方图》一起附进《周髀算经》中。首先他肯定了“勾股弦”关系符合勾股定理。
即
22=+弦勾股
之后他用了一种几何与代数巧妙地结合的方法，简洁美妙地证明了勾股定理。他的证明是：
“以勾，股乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差时一亦成弦实。” 将图1 的弦图一标上数学符号，如图2
将勾（a ）、股（b ）相乘就得两个朱的面积，加一倍是四个朱的面积。（即我们可以用割补法，而一个朱面积=12
a b ⨯⨯，则四个朱面积=2a b ⨯⨯，也就是四个ABC 的面积），以勾股差(b a -)自乘就是中间那个黄正方体的面积。然
而四个朱的面积加上中间黄的面积就是这个
大正方体的面积（即2=弦）。
根据以上文字所述我们可以用代数式反它表示出来： 图2
即
222ab+(b-a)c =
2222(2)ab b ab a c +-+=
222a b c +=
所以勾股定理就得到了证明。
《勾股圆方图》除证明勾股定理外，还提供许多有趣的勾股弦互算关系。例如：已知“股弦差”和“勾弦差”，欲求勾、股、弦，那么就要想办法来构造一个公式。如下：
我们用a,b,c 分别表示勾，股，弦，那么上面的叙述表示为()()c b c a --和 如果按赵爽的方法就是：
“两差相乘，倍而开之，所得以股弦差增之为勾，以勾弦差之为股，两差增之为弦。”
把它用代数式表示则为：
2()()()a c a c b c b =--+-
2()()()b c a c b c a =--+- C 朱 朱 朱 朱 A B c b a 黄 C
2()()()()c c a c b c a c b =--+-+-
由这几个式子可以看出当时我国的数学已发展到了更高的地步。如果我们仔细观察图1中的弦图
4，并标上数学符号如
图3所示。
我们可以看出： 22212()2b a s s c +-+=
因为222a b c +=，
故122s s =； 1s 的边长是
()b c a a b c --=+-，然而2s 的面积是()()c a c b --，于是便有
2()()
a b c c a c b +-=--从而得到赵爽推广的
以上三个式子。
§2 勾股定理的应用
我们都知道《九章算术》是我国古代最著名的一部数学著作，它记载着我国古代数学的各种算法。其中勾股术也记在这本书中，勾股术就是《九章算术》中
第九章的内容。它叫《勾股》，勾股能解决生活中的一些问题。例如在《九章算术》中的《勾股》中有这样一道题：
“今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从（z òng ）之不出二尺，邪之适出。问户高、广、衺各几何？”
这一小段的意思是：有一个门，不知道有多宽多高；有一根竿，不知道有多长。将竿横放，差四尺出不去；将竿竖起，差两尺出不去；将竿斜放，正好出得去。问门的高度，宽度和斜长各为多少？
用现代的数学来解它，我们可以用一元二次方程来解：
设竿长为x ，则高度为（2x -），宽度为(4x -) 2s c-b b
c-a 2s 1
s a a c-a
c c-b b c
图3
222(4)(2)x x x =-+-
22281644x x x x x =-++-+
21220x x =+勾股定理的历史
212200x x -+=
(2)(10)0x x --=
12x =
210x =
因为12x =不满足题意，故略去。所以210x =为所求。
28x -= 46x -=
于是门的高度、宽度、斜长分别为：8尺、6尺、10尺。
但是在《九章算术》中解这个题就十分的简单，它是这样说的：
“从（z òng ）、横不足相乘，倍而开方之。所得加从（z òng ）不出即户广，加横不出即户高，两不出加之，得户衺。”就这么简单的几句话就解决了这个问题。我们把这一小段话用数学语言表达出来就是：
设门的高、广、衺分别为a 、b 、c ，即已知从（zòng ）不出2c b -=，横不出4c a -=。则先求出2()()2244c b c a --=⨯⨯=。加2就是门宽6尺，加4就是门高8尺，加2和4就是门斜长10尺。
经过比较可以看出，我国古代数学是多么的精妙，它不用在纸上慢慢的算，而是用几句歌诀就很快地计算出答案，可见我国古代数学已发展到了很了不起的地步，只是当时我国的数学是叫做“术”，而不是叫做“数
学”。
当时赵爽的弦图或其推导公式，是非常巧妙的。
当已知“股弦和”和勾，求股时，典型题为《九章算
术》中的《折竹》题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本
三尺。问折者高几何？”我们把这一小段话用现代汉语表
述为“有一竹子，高10尺，腰间折断，它的梢着地，离
根部3尺。问折断处离地多高”。
如图4所示
如果我们用常规解法就要着解方程。而设折断处离地
高为x ，则就得到方程为：
图4
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