在数学教学中，数学史的研究现在已经受到教师的重视。许多教师在运用数学史进行教学设计的时候，往往将重点落在运用数学史的趣事上以吸引学生的兴趣，但是在我看来，数学史在数学教学中的作用远不止于此，从研究数学史的角度可以看到人类在数学发展历史上走过的弯路，可以成为突破中学数学重点和难点的契机，可以让学生理解数学家们的思维方式，从而去模仿数学家们的心智，进行创造性思考，更能让学生认识问题的本质。
数学是一门高度抽象化、逻辑化、形式化的学科。正因为此，在许多人的心中，数学是一门高深的学问。其实，在数学史上有许多“火热的思考”，正是经过这些思考，将数学打造成一门逻辑性极强，高度抽象的学科。正是这些思考将数学的本质完完整整的呈现出来。教师如果将这些内容介绍给学生，将在概念的引入、学生思维的建构方面起到意想不到的作用。本文将从几个侧面给出例证。
1深入理解对数的发明
15、16世纪的欧洲，航海和贸易的迅速发展，极大地推动了天文学和三角学的进步。随之出现的大量的大数计算工作(主要是乘法和除法)变得日益重要起来。虽说乘除法并不难，但是对许多很大的数进行运算要做到快速准确就不是一件容易的事了。特别是天文学家，为了确定行星的位置或制作天文数表，往往要花上几天甚至几个月的时间进行计算。这样改进数字计算方法成了当务之急，特别是将乘除转化为加减的方法，这样的话就可以事半功倍。
1544年，德国数学家斯蒂费尔(1487-1567)在《综合算术》一书中，列出了如下的两个数列:
…,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
…,14,12,1,2,48,16,32,64,128,256,516,…
这里第一行是等差数列，第二行是等比数列。他称第一行的数为“指数”(德文exponent，原意是代表者)，并明确地指出了：等比数列中数的乘、除、乘方、开方，可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现。可惜的是，斯蒂费尔并没有由此做出更深入的研究，而把发明对数的机会失去了。而由苏格兰的纳皮尔(1550-1617)完成了这一发明。
从形式上来看，由等差数列与等比数列的关系中引出的对数概念似乎与指数概念完全无关，其实不然，对数与指数的互逆关系，早就隐含在对数的定义中了。例如，以a为公比的等比数列与其相应的等差数列对应如下:
…,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…
…,a-6,a-5,a-4,a-3,a-2,a-1,a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,…
如果设上排的数为y，下排的数为x，那么这两列数之间始终保持着x=a y的关系。因此把等差数列中的数
(y)定义为与它对应的等比数列中的数(x=a y)的对数，就是从关系x=a y出发，把幂函数y定义为以a为底的对数，纳皮尔之所以没有这样明确指出的主要原因是当时指数概念尚未完善(很奇怪在数学史上对数概念先于幂的概念的形成，幂的符号直到1637年经笛卡儿的改进才成为现今通用的符号，这也是数学史的珍闻)。按当时选择符号的惯例，人们把logarithm(对数)一词的头三个字母log作为对数的符号,a y的对数记作logx，没有“底”的概念，当然也就没有底的符号。
纳皮尔对数理论的发表，标志着对数的诞生。然而，纳皮尔对数无论从实用价值和理论意义来说，仍有待发展。但是，人们对对数研究的热情被激发起来了，特别是天文学家几乎以狂喜的心情来接受这一发现，天文学家兼数学家拉普拉斯就曾称赞这是一项“使天文学家寿命倍增”的发明。恩格斯曾经把对数的发明和机械几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过:“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”
点评：上述案例研究不仅介绍了对数的发明，介绍了它产生的原因和背景，同时对后面的等差、等比数列有了初步的介绍。任何知识都有其发生、发展的历史，在中学数学教学中，我们呈现给学生的是一个完整的知识体系。打个比方，一座高楼在建设时是显得非常杂乱无章的，但等到工程完工，脚手架拆掉，展现在人们面前的是一个有条不紊的建筑。从这个完成的建筑的表面，外行人是看不出当时是怎样建造它的。而数学史的讲授使得学生身临其境般地感受到数学的发展，同时突破现有的框架，形成更加有机的、全面的认识。
数学的形式化表述，往往把历史上“火热的思考”变成了“冰冷的美丽”，在数学史上有许多值得我们数学工作者去研究的地方，更重要的是研究如何将数学史和中学数学结合在一起，从数学史的观点分析学生学习数学时的困难，更好地为解决教学重点和难点服务。
2等差数列、等比数列求和的方法
等差数列和等比数列是数学中最古老的问题之一，它们的历史至少可以追溯到三四千年以前的古埃及(早在约公元前1700年成书的“纸草算书”中就已记载了)。
在学习等比数列前n项和公式时，我们可以对课本中提出的用“错位相减”法求和进一步思索：为什么要在和式:S n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1两边同乘以公比q?是否还可以由等比数列及其和的定义、通项公式得出其他求和方法(或更简单的方法)呢?其实欧几里得在《几何原本》中早就给出了等比数列的求和公式，他的证明过程大致是这样的:
因为
a
n+1
a
n
=a n a
n-1
= (2)
1
利用分比性质，有
a
n+1
-a
n
a
n
=a n-a n-1a
n-1
=…a2-a1a
1
再利用比例的性质，有
a
n+1
-a1
a
n
+a
n-1
+…+a1=
a
n
-a
n-1
S
n
=…a2-a1a
1
=q-1所以，当q≠1时,
S
n
=a n+1-a1
q-1=
a1q n-a1
q-1=…
a1(1-q n)
1-q
当q=1时,S n=na1。
经过再探索，发现对等比数列前n项和还可用下面的方法得到: (1)因为S n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1
=a1+q(a1+a1q+…+a1q n-2)
=a1+q·S n-1
=a1+q(S n-a n)
所以S n=a1(1-q n)
1-q(q≠1)
(2)因为S n+1=S n+a1q n
=a1+a1q+a1q2+…+a1q n
=a1+q(a1+a1q+…+a1q n-1)
=a1+q·S n
所以S n=a1(1-q n)
1-q(q≠1)
在传统教学中，教师考虑到效率的问题、应考的问题往往就采用“总结规律式”的方法，这提高了学生的应试能力，但数学教学中最精彩的部分——
—波利亚所谓的“怎样解题”，并没有教授给学生，学生仅成为一个真正意义上的“解题机器”。在数学史引入课堂教学后，学生不但对等比数列的前n项和公式及其推导过程，求和的思想方法等有
以数学史为主体的几篇教学案例
庄春
(苏州旅游与财经高等职业技术学校，江苏苏州215104)
【摘要】数学史在中学教学中十分重要，将数学史有机地引入教学中，可以让学生更好的学数学、做数学、用数学。
【关键词】数学史；数学教学；教学案例
. All Rights Reserved.
深刻理解，掌握得牢固灵活，而且在这一学习过程中，提高和发展了学生的数学思维能力，体会到了解题的乐趣。
3余弦定理[16]
数学教学要让学生从整体上把握数学和数学思想。《普通高中数学课程标准》在“教学建议”这一部分中就提出“注重联系，提高对数学整体的认识”的要求，并具体指出:“教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。”这就需要教师在处理教学内容时，应深入挖掘与其它数学知识的关联，并在教学中通过适当的方式呈现出来，让学生感到数学是有趣的，好玩的，是美的。本文给出一个教学案例，它展现了如何在课堂教学中展示数学知识间的联系及其历史。
案例余弦定理
图1
1)勾股定理
欧几里得的证明:(图1)利用ΔABA2与ΔCBC3全等而
面积相等，得到正方形BA2A1C与矩形BC1C2C3面积相等:
同理正方形ACB1B2与矩形AC1C2C4面积相等。由此证明a2+b2=c2。
2)由勾股定理猜想出余弦定理(过程略)
3)证明余弦定理
图2
方法1:(图2)向量法：设C⭢B=a⭢,C⭢A=b⭢,A⭢B=c⭢，那么c⭢=a⭢-b⭢,
c⭢2=c⭢·c⭢=(a⭢-b⭢)2
=a⭢·a⭢+b⭢·b⭢-2a⭢·b⭢=a⭢2+b⭢2-2a⭢2b⭢2cosC
所以c⭢2=a⭢2+b⭢2-2a⭢2b⭢2cos。
方法2:(图3)
图3
cos C=CD BC
BD2=BC2-CD2=AB2-AD2
a2-CD2=c2-(b-CD)2
得CD=
a2+b2-c22b
∴cos C=a2+b2-c2
2ab
方法3：当△ABC不是直角三角形时，你能否利用欧几里得证明勾股定理的方法证明余弦定理?
(图4)假设△ABC是锐角三角形，仿照欧几里得的方法，可得矩形BA1A2A4与矩形BC1C2C3的面积相等，矩形AB1B2B3与矩形AC1C2C4的面积相等。因此a2+b2=c2矩形CB1B2B4与矩形CA1A2A3面积之和。而这两个矩形的面积均为abcos C。所以c
2=a2+b2-2ab cos C[20]
图4
问题:①当△ABC为钝角三角形时，如何证明;②你还能用其他证明勾股定理的方法来证明余弦定理吗?③
比较上述三种方法。4)秦九韶公式与海伦公式
在人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第21页就秦九韶公式与海伦公式作了详细介绍。
在方法2中我们进一步考察三角形的面积:
SΔABC=12AC·BD=12b·a2-CD2
√
=12b·a2-a2+b2-c22b
()2
√
=14a2b2-a2+b2-c22
()2
[]
√这就是秦九韶公式。
对其作进一步变形，则有:
SΔABC=116(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)
√
=116(a+b)2-c2
[]·c2-(a-b)2
[]
√
=116(a+b+c)·(a+b-c)·(c+a-b)·(c-a+b)
√
=p(p-a)(p-b)(p-c)
√
(其中p=12(a+b+c)),
这就是著名的海伦公式。
5)应用余弦定理证明和角公式
图5
cos(A+B)=-cos C
cos C=a2+b2-c2
2ab=a
2+b2-(b cos A+a cos B)2
2ab
=12ab(a2+b2-b2cos2A-a2cos2B-2ab cos A cos B)
=12ab(a2sin2B+b2sin2A-2ab cos A cos B)
=a sin2B2b+b sin2A2a-cos A cos B
=12·a CD·CD b sin2B+12·b CD·CD a sin2B-cos A cos B
=12·1sin B·sin A·sin2B+12·1sin A·sin B·sin2A-cos A cos B
=sin A·sin B-cos A cos B(下转第285页
) . All Rights Reserved.
图2衬砌内部管线处的空洞
图3衬砌内部不密实图4衬砌后回填不密实
图5衬砌厚度界面勾股定理的历史
图6衬砌厚度不足
图7衬砌厚度不足
5结语
地质雷达检测隧道混凝土衬砌层缺陷法是一种先进的无损检测技术，与人工取芯相比，地质雷达检测采集的数据量大，更加客观准确、经济、方便、快捷，采用地质雷达无损检测，可以将施工中存在的各种质量隐患排除在隧道建设施工阶段。随着该项技术的推广，从野外数据采集到后期数据分析处理水平不断地提高和完善，地质雷达检测技术将会在隧道工程质量检测领域具有广阔的发展空间。
[责任编辑：孙珊珊
]
(上接第231页)∴cos (A+B )=sin A ·sin B-cos A cos B 6)
正弦定理在图3中,sin C=BD A
,
c sinC =ac BD =ac a 2-a 2+b 2-c
2
2b ()
2√
=12abc
14a 2b 2-a 2+b 2-c 22
(
)2[]
√=abc 2S
(此处利用了秦九韶公式，当然也可直接应用S =12
·bBD ),
同理可得a sin A =b sinB =abc
S
∴a sin A =b sinB =c sin C
同时也得到S =12
ab sin C ，这是面积公式。利用面积公式我们还
有(图5:sin(A+B )=sin C=2S ab =AD
·CD+BD ·CD ab
=AD b ·CD a +BD a ·CD b
=cos A sin B+cos B sin A
由此得到和角的正弦公式。
点评：这一节内容是余弦定理，但案例并没就此论此，而是引入勾股定理及其证明、秦九韶公式、海伦公式、和角公式以及正弦定理；内容大大丰富，而且这些内容是紧密联系在一起的，作为一个整体的“知识包”，在教学中呈现出来，把它们联系在一起的。
对于数学史引入数学教学，笔者认为不应仅仅简单地在教材中加入一段阅读材料，我们更多地应考虑如何将数学史有机地融入其中。事实上，数学史应“适时介入”，也即凡是能介绍数学史的地方就应插入其历史。教师在教学中讲联系、讲历史，有利于学生学数学、做数学、用数学。
【
】
[1]朱哲，钱丽华.从理论到实践数学史融入数学教学[J].中学教研,2006(1).[2]岳荣华.发掘数学史在数学教学中的教育功能[J].衡水学院学报,2008.
[3]朱哲.余弦定理：一则体现数学联系与历史的教学案例[J].数学通讯,2005(17).8
[责任编辑：薛俊歌]
(上接第283页)岩巷掘进是矿山建设中的重要内容，它是一项系统工程，为了加快掘进效率，应该从掘进的各个环节———破岩、装运和支护等———依次进行突破，提高工作效率。主要方法有两点，一是，采用新技术、新设备和新工艺，运用科学的力量提高掘进效率；二是，加强劳动组织管理
，合理安排，合理奖惩，充分调动职工的积极性，运用管理的力量提高掘进效率。
[1]刘刚.井巷工程[M].徐州：中国矿业大学出版社
,2005.
[2]任建民.发挥综合机械化优势实现岩巷快速掘进[J].煤炭技术.2009(4).
[责任编辑：张涛]
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