专题一 实数的混合运算
【知识要点】
1、有理数的基本概念
(1)正数和负数
定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。
(2)有理数
正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。
2、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3、相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。
a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。
4、绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即：如果a >0，那么|a|=a；
如果a =0，那么|a|=0；
如果a <0，那么|a|=-a。
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。
5、倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数。
所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。
6、数的比较大小
法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
7、乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
如：读作a的n次方（幂），在1光年等于多少年an中，a叫做底数，n叫做指数。
性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。
8、科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。
用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。
用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。
9、近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。
10、有理数的加法
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，
取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。
11、有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。
12、有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
13、有理数的除法
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。
14、有理数的混合运算
混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
15、平方根
定义1：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。即。
规定：0的算术平方根是0。
定义2：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。即。
定义3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
16、立方根
定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
17、无理数
无限不循环小数又叫做无理数。
18、实数
有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。
备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
19、实数的分类
【经典例题】
1、若收入100元记作+100元，那么支出60元记作 元。
2、在记录气温时，若零上5度记作+5℃，那么零下5度记作( )
A、5℃ B、-5℃ C、0℃ D、-10℃
3、3的相反数是 ，-5的倒数是 ，-3的绝对值是 。
4、2的相反数的倒数是 。
5、计算：-(-2)= ，|-5|= 。
6、地球上的陆地面积约为149000000平方公里，那么用科学记数法表示149000000应为( )
A、1.49×106 B、1.49×107 C、1.49×108 D、1.49×109
7、光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000 km，则这个数用科学记数法表示应为 。
8、甲型H1N1流感病毒变异后的直径为0.00000013米，这个数用科学记数法表示应该是( )
A、1.3×10-6 B、1.3×10-7 C、1.3×10-8 D、1.3×10-9
9、近年来，我国大部分地区饱受“四面霾伏”的困扰。霾的主要成分是PM2.5，是指直径小于或等于0.0000025m的颗粒物。那么数0.0000025用科学记数法可表示为( )
A、25×10-5 B、25×10-6 C、2.5×10-5 D、2.5×10-6
10、若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b= 。
11、如果a的倒数是-1，那么a2020等于( )
A、-1 B、1 C、2014 D、-2014
12、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则= 。
13、某天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，那么中午的气温是 ℃。
14、曲靖某天的最高气温是10℃，最低气温是-8℃，那么这天曲靖的最高气温比最低气温高( )
A、-18℃ B、-2℃ C、2℃ D、18℃
15、的相反数是 ，绝对值是 。
16、的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
17、如图，数轴上点P表示的数可能是( )
A、 B、- C、-3.2 D、-
18、估计的值( )
A、在3到4之间 B、在4到5之间 C、在5到6之间 D、在6到7之间
19、（2018云南第15题6分）－2cos－－
20、（2018曲靖第15题5分）－（－2）＋＋＋
21、（2016曲靖第15题5分）＋－＋
22、（2016昆明第15题5分）－＋＋2sin
23、＋2cos－－ 24、－－2cos＋
25、－＋＋4 cos
26、＋＋tan－
27、－－－
28、（2019云南第15题6分）＋－＋
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