专题训练利润最值问题
专题训练 利润最值问题
数学来源于生活，生活也离不开数学，利用数学知识解决生活中的问题，是数学教学的目的，也是新课改的要求。数学涉及生活的方方面面，小到计算柴米油盐，大到计算企业的收支状况。纵观近几年各地的数学中考试题,“利润最大值”问题也常有出现，难易程度不一，它涉及方程、二次函数等方面的知识。在解决此类问题时，学生一定要结合实际情况灵活运用数学知识，不能生搬硬套数学公式。下面笔者结合具体试题，分析归纳此类问题的解题策略。
1. (2020成都8分)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫，已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y (单位：件)与线下售价x (单位：元/件，12≤x <24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下
月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．  解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，
由表格知，当x ＝12时，y ＝1200；当x ＝13时，y ＝1100，
则有⎩⎨⎧12k ＋b ＝120013k ＋b ＝1100，解得⎩⎨⎧k ＝－100b ＝2400
， ∴y 与x 的函数关系式为y ＝－100x ＋2400；(4分)
(2)设商家线上和线下的月利润总和为w 元，则可得
w ＝400(x －2－10)＋y (x －10)＝－100(x －19)2＋7300.
∵－100<0，12≤x＜24，
∴当x为19元/件时，月利润总和达到最大，此时最大利润是7300元．(8分)
2.(2020福建8分)某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各
批发市场进货多少吨？
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
解：(1)设这个月该公司销售甲特产x吨，则销售乙特产(100－x)吨，
由题意得10x＋(100－x)＝235，
解得x＝15，则100－x＝85.
答：这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；(3分)
(2)设一个月销售甲特产m吨，则销售乙特产(100－m)吨，且0≤m≤20，获得的总利润为w万元．
公司获得的总利润w＝(10.5－10)m＋(1.2－1)(100－m)
＝0.3m＋20.
∵0.3＞0，∴w随着m的增大而增大．
又∵0≤m≤20，
∴当m＝20时，公司获得的总利润取得最大值，最大值为0.3×20＋20＝26万元．
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为26万元．(8分)
3.(2020丹东10分)某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50
元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y (件)与每件的售价x (元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y 与x 之间的函数表达式；(不需要求自变量x 的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠， 该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w (元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，
将x ＝60，y ＝1400与x ＝70，y ＝1200代入，
得⎩⎨⎧1400＝60k ＋b 1200＝70k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20b ＝2600
， ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋2600；(3分)
(2)由题意得(x －50)(－20x ＋2600)＝24000，
解得x ＝70或x ＝110，
∵尽量给客户实惠，
∴该衬衫应该定价70元；(6分)
(3)由题意得w ＝(x －50)(－20x ＋2600)＝－20x 2＋3600x －130000＝－20(x －90)2＋32000，
∵－20＜0，∴当x ＜90时，w 随x 的增大而增大．
∵x －50≤30%×50，∴x ≤65.
∴当x ＝65时，w 有最大值，最大值为－20×(65－90)2＋32000＝19500，
答：当每件衬衫定价为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．(10分)
4. (2020天水10分)天水市某商店准备购进A 、B 两种商品，A 种商品每件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用2000元购进A 种商品和用1200元购进B 种商品的数量相同，商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．
(1)A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
(3)“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠m (10＜m ＜20)元，B 种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m 的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
解：(1)设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为(x  －20)元．
依题意得2000x ＝1200x －20
， 解得x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．
当x ＝50时，x －20＝30.
答：A 种商品每件的进价为50元，B 种商品每件的进价为30元；(3分)
(2)设购进A 种商品a 件，购进B 种商品(40－a )件，
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧50a ＋30（40－a ）≤1560a ≥12
（40－a ）， 解得403≤a ≤18，
∵a 为整数，∴a ＝14，15，16，17，18.
∴该商店有5种进货方案；(6分)
(3)设销售A 、B 两种商品总获利y 元，
则y  ＝(80－50－m )a ＋(45－30)(40－a ) ＝(15－m )a ＋600.(7分)
①当m ＝15时，15－m ＝0，y 与a 的取值无关．即(2)中的五种方案都获利600元；
②当10<m <15时，15－m >0，y 随a 的增大而增大，
∴当a ＝18时，获利最大，即在(2)的条件下，购进A 种商品18件，购进B 种商品22件，获利最大；
③当15<m <20时，15－m <0，y 随a 的增大而减小，
∴当a ＝14时，获利最大，即在(2)的条件下，购进A 种商品14件，购进B 种商品26件，获利最大．(10分)
5. (2020抚顺、本溪、辽阳12分)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y (瓶)与每瓶售价x (元)之间满足一次函数关系(其中10≤x ≤15，且x 为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，(1分)
根据题意得⎩⎨⎧12k ＋b ＝9014k ＋b ＝80，解得⎩⎨⎧k ＝－5b ＝150
， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－5x ＋150；(5分)
(2)根据题意，得
w ＝(x －10)(－5x ＋150)

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