2017年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则(      )
A．    B．    C．    D．
2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑部分和白部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑部分的概率是(      )
A．        B．        C．        D．           
3.设有下面四个命题
：若复数满足，则；       
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则。
其中的真命题为(      )
A．                B．            C．            D．
4.记为等差数列的前项和。若，，则的公差为(    )
A．1                B．2                C．4                D．8
5.函数在单调递减，且为奇函数。若，则满足的的取值范围是(      )
A．            B．            C．            D．
6.展开式中的系数为(      )
A．15                B．20                C．30                D．35
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形。该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(      )
A．10            B．12            C．14            D．16
8.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(      )
A．A>1 000和n=n+1            B．A>1 000和n=n+2   
C．A1 000和n=n+1        D．A1 000和n=n+2
9.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是(      )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
10.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A．B两点，直线l2与C交于D．E两点，则|AB|+|DE|的最小值为(      )
A．16                B．14                C．12                D．10
11.设x，y，z为正数，且，则(      )
A．2x<3y<5z            B．5z<2x<3y            C．3y<5z<2x            D．3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是(      )
A．440                B．330                C．220                D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |=           。
14.设x，y满足约束条件，则的最小值为          。
15.已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为          。
16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D．E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D．E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为          。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长。
18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且。
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值。
19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）。根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布。
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，。
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）。
附：若随机变量服从正态分布，则，，。
20.（12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上。
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点。
21.（12分）已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x。
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为。
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求A．
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│。
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围。
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（    ）
A．        B．        C．        D．
【考点】：集合的简单运算，指数函数
【思路】：利用指数函数的性质可以将集合B求解出来，之后利用集合的计算求解即可。
【解析】：由，解得，故而，故选A．
2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑部分和白部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑部分的概率是（    ）
A．                B．            C．                D．           
【考点】：几何概型
【思路】：几何概型的面积问题，。
【解析】：，故而选B．
3.设有下面四个命题
：若复数满足，则；            ：若复数满足，则；
：若复数满足，则；        ：若复数，则。
其中的真命题为（    ）
A．                B．            C．            D．
【考点】：复数，简易逻辑
【思路】：将四个命题中的复数分别用基本形式假设即可。
【解析】：：不妨设，真命题；   
：不妨设，假命题；
：不妨设，此时明显不一定满足全国高考最高分，假命题。
：不妨设。，真命题。
故而选B．
4.记为等差数列的前项和。若，，则的公差为（    ）
A．1                B．2                C．4                D．8
【考点】：等差数列，难度较小。
【思路】：将求和公式化简即可得到公差。
【解析】：，，作差
故而选C．
5.函数在单调递减，且为奇函数。若，则满足的的取值范围是（    ）
A．            B．            C．            D．
【考点】：函数不等式，函数的单调性。
【思路】：奇函数左右两侧单调性相同，根据奇函数的性质求解，利用单调性代入不等式即可。
【解析】：故而选D．
6.展开式中的系数为（    ）
A．15                B．20                C．30                D．35
【考点】：二项式定理。
【思路】：将的通项求解出来即可。
【解析】：可得整体的通项、，，，故而可得的系数为为30，故选C．
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正
方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形。该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（    ）
A．10            B．12            C．14            D．16
【考点】：立体图形的三视图，立体图形的表面积。
【思路】：将三视图还原即可。
【解析】：将三视图还原可得右图图形，故而多面体有两个面是梯形，此时可得，故而选B．
8.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（    ）
A．A>1 000和n=n+1        B．A>1 000和n=n+2        C．A1 000和n=n+1        D．A1 000和n=n+2
【考点】：程序框图。
【思路】：此题的难点在于考察点的不同，考察判断框和循环系数。根据判断条件可得为当型结构，故而判断框中应该是A1 000，又题目要求为最小偶数，故而循环系数当为n=n+2.
【解析】：选D．
9.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（    ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

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