第二讲 周期性问题
编写说明
我们已经对规律性问题进行了研究，规律性问题和周期性问题紧密相连，所以我们在回忆相关内容时主要以规律性问题为主. 在您用学而思讲义讲解问题时，我们主张教师在条件允许的范围之内，尽量将题目的缘由讲解给学生，这样有利于学生“举一反三”，逐渐帮助学生拥有研究问题、发现问题的能力.
内容概述
呵呵! 小朋友们你们还记得春季第十四讲的“规律性问题”吗？在那一讲中我们其实已经接触到了周期问题的一些基本概念，规律性问题和周期问题两者相互交融，紧密联系，在解答问题时它们常常同时会来帮助你！下面让我们一起先来回忆一下基本概念和几道有关周期性问题的习题，然后一同研究几种新的知识点！
基本概念：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.
阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为2022年几月几号立春几点几分365天，闰年为366天. 在公历纪年中，平年的二月为28天，闰年的二月为29天. 闰年的2月29日为闰日.
一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年.
你还记得吗？
【复习1】（福建迎春杯）有一串数列，第一个数是8，以后每个数的规律为：如果前一个数是奇数，就将它减去1以后再乘以3；如果前一个数是偶数，就将它除以2以后再加上2，那么这串数列的第102个数是多少？
分析：写出这串数的若干项：8、6、5、12、8、6、5、12、…… ，每四个数一循环：102÷4=25…2，所以第102个数是6 .
【复习2】有一列数：3、1000、997、3、994、991、…从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中最小的数是几？它第一次出现在这列数的第几个？
分析：我们把这个数列延伸一下：3、1000、997、3、994、991、3、988、985、3、982、979、… ，3间隔两项出现，大数（非3的数）以3为公差减小，如上下划线所示，每三个一组，每组第二个数字差为6，1000÷6=166…4，即在第167组中出现第一个数字为4，第二个数字为4-3=1，我们从第167组开始往下写为：3、4、1（第167组）、3、2、1、1、0、1、1、0、1、1、…… ，所以最小数为0 .它第一次出现在：167×3+5=506 位 .
数字大排队
【例1】如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列.
（1） 第99行右边第一个数是几？
（2） 2006出现在第几行，第几列？
分数：（1）每7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第98行中最大的那个数为：（49×7-1）×2=684，所以第99行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第99行右边第一个数是690 .
（2）2006÷2+1=1004，1004÷7=143……3，所以在第287行，第5列.
【前铺】除0外的自然数都按右表排列，问：
（1）21排在第几列的下面?
（2）32排在第几列的下面?
（3）54排在第几列的下面?
分析：我们可以把7个看成一组
（1）21=3×7 ，所以21在7的下面，所以在第二列；
（2）32÷7=4…4，所以32在4的下面，所以在第七列；
（3）54÷7=7…5，所以54在5的下面，所以在第六列。
【例2】有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25.已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7.问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
分析：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同.进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同. 同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同.也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的.所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11
个数，是7. 前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7）=9.
这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现，第24个数与第4个数相同，是9. 由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478.
【前铺】（小数报数学竞赛初赛）右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？
分析：根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.
于是：B=891÷(9×9)=11.
【前铺】有一个十一位数，已知它的首位数字为9，末尾数字为8，且三个相邻的数字之和是24，则第5个数字是几？ 这是数是多少？
9 | ? | 8 | ||||||||
分析：三个相邻的数字之和是24，说明第二、三个数字为24－9=15，即第四个数字为9，以此类推：
9 | 9 | ? | 9 | 9 | 8 | |||||
再从后往前，即可完成
9 | 8 | 7 | 9 | ?8 | 7 | 9 | 8 | 7 | 9 | 8 |
也可以增加一个格，从右边开始数，隔2个数就相等，马上就能数出来！
末尾数字的规律
【例3】求28128－2929的个位数字.
分析：由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6。由29÷2＝14……1知，
2929的个位数与91的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7.
【前铺】算式的得数的尾数是几？
分析：我们只需要看个位就行了,3的个位是3,3×3个位是9,3×3×3个位是7,3×3×3×3个位是1,3×3×3×3×3个位是3,我们发现四次一循环,2006÷4=501……2,所以算式123×123×123×……×123的得数的尾数是9.
【拓展】an的个位数字的变化规律，如下表：从总体而言，可以总结成：“4个一循环”
【例4】算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是几？
分析：这是一道很经典的题目，分别规律，我们只看个位数就够了：
7：7，9，3，1……，367/4=91…3，个位数是3 ；
2：2，4，8，6……，762/4=190…2，个位数是4 ；
3：3，9，7，1……，123/4=30…3，个位数是7 ；
因此个位数：（3+4）×7=49 .
圆圈上的数学游戏
【例5】如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？
分析：根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置. 156÷8=19……4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置. 要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置.
【前铺】（迎春杯刊赛）如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？
分析：这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.
【例6】实验室里有一个计数器，一圈一共24个格，按照顺时针顺序标了0～23这24个数.每经过8分钟，指针就会顺时针方向跳一次；每跳一次，就要跳过7格.今天晚上十一点的时候，指针正好从3跳到10，那么明天早上9点23分的时候，指针指着的数是几？
分析：从晚上11点到早上9点23分的时候，共经过了623分钟，623÷8=77…7，
指针跳过：77×7=539（格），539÷24=22…11，所以相当于从10顺时针跳11格，是21格.
【例7】（明心杯数学挑战赛）如右图，电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10．如果电子跳蚤开始时在BC边上的Po点，BPo=4．
第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CPo；
第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；
第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；
跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为P2001，请计算Po与P2001之间的距离．
分析：因为BP0=4，所以CP0=10-4=6．
第一步：从P0→P1，CP1=CP0=6，所以AP1=9-6=3；
第二步：从P1→P2 ，AP2=AP1=3，所以BP2=8-3=5；
第三步：从P2→P3 ，BP3=BP2=5，所以CP3=10-5=5；
第四步：从P3 →P4 ，CP4=CP3=5，所以AP4=9-5=4；
第五步：从P4→P5 ，AP5=AP4=4，所以BP5=8-4=4；
第六步：从P5→P6 ，BP6=BP5=4．可以看出，P6与P0点重合，而2001=6×333+3，故P2001点与P3点重合. P0与P2001之间的距离就是P0与P3之间的距离，等于：BP3一BP0=5-4=1．
我来星期几
【例8】（国家公务员考试题改编）1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
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