几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）
几何综合问题在中考中以填空题和解答题的
形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考
查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一
般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、
圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和
二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形
结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以
下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形
面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右
图为几何综合问题中各题型的考查热度.
题型1：线段最值问题
①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题
解题模板：
1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD
内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，
由对称性可知：圆心O在AC上．
AC＝＝4．
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥EC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°．
∴△OEC为等腰直角三角形．
∴OC＝OE＝．
∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．
中考分数怎么查?∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．
【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；
（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中
，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE＝，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AC＝AG+GC，
∴AG＝，CG＝，
∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，
∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AF∥CD，
∴△GAF∽△GCD，
∴，
即，
解得，AG＝4，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE＝，
∴GE＝GA+AE＝5．
综上所述：GE的长为：，5．
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