2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南
卷）
数学（理工农医类）
一、 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 满足(z i
i i z
+=为虚数单位）的复数z =
A ．1
12
2
i + B ．1122
i - C ．112
2
i -+ D ．112
湖南2014高考2
i --
2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，学科网当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则
A ．123p p p =<
B ．231p p p =<
C ．132p p p =<
D ．
123p p p ==
3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3 4．51(2)2
x y -的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20
5．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题
①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]-
7．一块石材表示的几何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．
2p q + B ．(1)(1)1
2
p q ++- C pq D (1)(1)1p q ++ 9．已知函数230
()sin(),()0,f x x f x dx π
ϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是
A ．56x π=
B ．712x π=
C ．3x π=
D ．6
x π= 10．已知函数221
()(0)()ln()2
x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称
的点，则a 的取值范围是 A ．(e -∞ B ．(e -∞ C ．(e e D ．(,e e
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分． （一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4
π
的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y α
αα=+⎧⎨
=+⎩
为参数）
交
于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是
12．如图3，已知,AB BC 是圆O 的两条弦，,3,22,AO BC AB BC ⊥==则圆O 的半径等于
13．若关于x 的不等式|2|3ax -<；的解集为5
1{|}3
3
x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）
14．若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最小值为－6，则k =
15．如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,b
C F a
=两点，则
16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),3),(3,0),A B C -动点D 满足
||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2
33
5
和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立．
a) 求至少有一种新产品研发成功的概率；
b) 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
18． （本小题满分12分）
如图5，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ （I ）
求cos CAD ∠的值；
（II ） 若721cos ,sin ,146
BAD CBA ∠=-
∠=求BC 的长．
19． （本小题满分12分）
如图6，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，
11111,,AC
BD O AC B D O ==四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩
形．
（I ）
证明：1;O O ABCD ⊥底面
（II ） 若1160,CBA C OB D ∠=--求二面角的余弦值．
20． （本小题满分13分）
已知数列{n a }满足*
111,||,.n n n
a a a p n N +=-=∈ （I ）
若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值；
（II ） 若1
2
p =
，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．
21． （本小题满分13分）
如图7，O 为坐标原点，椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，
离心率为1e ；双曲线22
222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知
123
e e =
且24||3 1.F F = （I ）
求12,C C 的方程；
（II ） 过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q
两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
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