2017年专升本高数真题答案解析(浙江)
浙江省2017年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学参考答案选择题部分
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
题号12345答案
D
A
C
D
D
1.D 解析:0lim )(lim 10
==--→→x
x x e x f ，;lim )(lim 10
+∞==+
+→→x
x x e x f 所以0=x 是)(x f 的无穷间断点，即属于第二类间断点，选项D 正确。
2.A 解析：选项A ：由积分中值定理：若)(x f 在],[b a 连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，
使得
()()()ξ=-⎰
b
a
f x dx f b a ，选项A 正确。
选项B ：由拉格朗日中值定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()'()()ξ-=-f b f a f b a ，选项B 错误。
选项C ：由零点定理：若)(x f 在],[b a 连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()0ξ=f ，选项C 错误。
选项D ：由罗尔定理：若)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()0ξ'=f ，选项D 错误。
3.C 解析:
);
()(
;  )()(  ;  )()('x f dx x f dx
d C x f x df C x f dx x f =
+=+=⎰⎰⎰
⎰=dx x f dx x f d )()(，可见选项C 正确。
4.D 解析:2|2110102
1
1
0===⎰⎰-x dx x dx x ；所以⎰101dx x
收敛，故选项A 错误。2|arcsin 111
0102π==-⎰x dx x ；所以⎰-10211dx x
收敛，故选项B 错误。111
lim |)1(1112=+-=-=+∞→∞++∞⎰x x dx x x ；所以⎰+∞12
1dx x 收敛，故选项C 错误。+∞=+-=-=+→⎰x x dx x x 1
lim 1|)1(1010102；所以⎰1021dx x
发散，故选项D 正确。5.D 解析：特征方程为：0232=+-r r ，0)2)(1(=--r r ，即：11=r ，2
2=r
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因为i i +=+1ωλ不是0232=+-r r 的根，所以：0=k 。所以32sin '''-+=x
y y y e x
特解可设为：*
(cos sin )=+x
y e a x b x ，故选项D 正确。
非选择题部分
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.)0,(-∞解析：由120<<x ，解得：0<x ，故定义域为：)
0,(-∞7.2ln 解析：由第二个重要极限可得：110
lim(1)lim(1)
2→→+=+== k k x kx
x x kx kx e ，所以ln2
=k 8.
53解析：由导数定义可得：0(3)(3)lim (3)→--'=h f f h f h
，又因为2()ln(1)=+f x x ，
所以22()1'=
+x f x x ，故3(3)5
'=
f 9.1
解析：令函数5()25=+-f x x x ，(0,)∈+∞x ，且(0)50
=-<f ()5lim ()lim 25→+∞
→+∞
=+-=+∞x x f x x x ，4()520'=+>f x x ，由零点定理和单调性可知，
方程5250+-=x x 有且仅有1个正根
10.dx e
1
-解析：方程0=-+e xy e y 两边同时对x 求导，即：0='++'y x y y e y ，
把0=x 代入原方程，可得1=y ，再把0=x ，1=y 代入0='++'y x y y e y 可得：
e y x 10-='=，故dx
e
dy x 1
0-==11.)1ln 1
(221
x
x x x x
+-解析：方法一（指数对数化）：对函数进行指数对数化：x x x e x y ln 1
1==，
)1
ln 1(1ln 1(22122ln 1x
x x x x x x e y x x x +-=+-='∴方法二（对数求导法则）：两边同时取对数：x x
y ln 1
ln =，两边再同时对x 求导：
1ln 122x x x y y +-='， )1ln 1(  221
x
x x x y x +-='∴
12.0解析：因为x x x f cos sin )(=是奇函数，所以根据偶倍奇零，该定积分
sin cos 0
π
π-
⋅=⎰x xdx 13.)(2
x xf 解析：积分上限函数求导，
22
0()()=⎰x d tf t dt xf x dx
14.2
13S S S >>解析：由题意可知：0)(>x f ，()f x 在],[b a 上单调递减，且图形
是凹的，所以根据图像可得：2
13S S S >>15.4
解析：中心点为：1=x ，因为在点3-=x 处条件收敛，根据阿贝尔定理可知，
∑∞=-1
)1(n n
n
x a 在41<-x 内绝对收敛，在41>-x 发散，所以收敛半径为4=R 三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。
16.解:3322
00002
ln(1)33lim
lim lim lim 61sin sin 1cos 2
→→→→+======---洛x x x x x x x x x x x x x x 【注】：此处用到的等价无穷小为：当0→x 时，x x ~)1ln(+，22
1~
cos 1x x -处处绝对收敛处处绝对收敛处处发散
处处发散
3-=x 1
=x 5
=x 2
S 1
S 3
S 1
=x o
)
(b f y =2
=x x
)
(a f y =y
17.解:2=-dx t dt ，12=+dy t dt
，122+==-dy dy t dt dx dx t dt
，2212()()22+'-==
-d dy t d y dt dx t dx dx t dt
()2234(12)21142224--+⋅-===---t t t t t t t 18.解：原式()⎰
⎰⎰--=-==dx
x
x x x x xd x x xdx 2
1arcsin arcsin arcsin arcsin ()
C x x x x d x
x x dx x
x x x +-+=--+
=--=⎰⎰
2
222
1arcsin 11121arcsin 1arcsin （C 为任意常数）
19.解：令2-=x t ，2+=t x ，dt dx =，故：原式
()()=
=-=⎰⎰-dt t f dx x f 1
1
31
2()()(
)
e
e e t t dt e dt t dt t
f dt t f t t
1
37)11(34)()31(1100
131
00
12
1
01
-
=+-+=-++=++=+=-----⎰⎰⎰
⎰20.解：因为在1=x 处连续，1lim )(lim 2
1
1
==-
-
→→x x f x x ，1)1(=f ，b a b ax x f x x +=+=+
+
→→)(lim )(lim 1
1，因为)(x f 在1=x 处连续，所以1=+b a 因为)(x f 在1=x 处可导，2)1(lim 11
lim 1)1()(lim
)1(0201=+=--=--='---→→→-x x x x f x f f x x x ，a a
x b ax x f x f f x x x ====--+=--='+++→→→+1lim 1
1lim 1)1()(lim )1(011洛，因为在0=x 处可导，所以2=a ，
联立后可得：当2=a ，1-=b 时，函数)(x f 在1=x 处连续且可导
21.解:1)1(lim )()(lim )(1
1<=+==-+→∞
→∞x nx x n x u x u x n n
n n n n ρ，所以收敛区间为：)1,1(-当1-=x 时，级数
∑∞
=--1
1
)
1(n n n 发散；当1=x 时，级数∑∞
=1
n n 发散，所以收敛域为：)1,1(-，
令2111)
1(11)(x x x x nx x S n n
n n -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∞
=∞
=-，所以和函数为：2
)1(1)(x x S -=，收敛域为：)1,1(-
22.解：根据题意可知：直线的方向向量分别为：=→1s )3,2,1(--，=→
2s )1,1,0(，所求平面的
法向量为：→
→→→→→→
→
→
→
→→+-=-+----=--=⨯=k j i k j i k
j
i
s s n 1
021*********
1032121，故)1,1,1(-=→n ，由点法式
可知，过点)1,2,1(且以→
n 为法向量的平面方程为：0)1()2()1
(=-+---z y x ，即：0=+-z y x 23.解:)(x f 的定义域：),(+∞-∞，2
2()()
-'=⋅-x f x e x ，令0)(='x f ，解得：
0=x ，由驻点划分定义域，得如下表格：
x )0,(-∞0)
,0(+∞)(x f '+
-
)
(x f 增
极大值
减
故单调递增区间为：)0,(-∞；单调递减区间为：),0(+∞；极大值为：π
21)0(=
f ，2
22()(1)
-''=
⋅-x f x e x ，令0)(=''x f ，11-=x ，12=x ，所以得到表格：x )1,(--∞1-)
1,1(-1),1(+∞)(x f ''+
-
+
)
(x f 凹
拐点
凸
拐点
凹
故凹区间为：)1,(--∞，),1(+∞；凸区间为：)1,1(-；拐点为：)21,1(21--e π，和)21
,1(21-e π
因为)(x f 没有无定义点，所以无垂直渐近线；
因为2
2lim ()0
-→∞==x
x x f x e ，即)(x f 有且仅有一条水平渐近线为：0
=y 四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
24.解:（1）方法一：圆盘法：2
2
222
4
55144(2)4()(32)
55
ππππ====-⎰⎰a a a V x dx x dx x a
2
22
2
2
420
2πππ=⋅-=⎰
a V a a dy a

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