2018年专升本高数真题答案解析
浙江省2018年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学参考答案选择题部分
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
题号12345答案
C
C
A
B
C
1.C 解析:)0(0lim )(lim 0
f x x f x x ===-
-
→→，1sin lim )(lim 0
==++→→x
x
x f x x ，所以0=x 是)(x f 的跳跃间断点，选项C 正确。
2.C 解析:02
sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim 0020==+-=-→→→x
x x x x x x x x x x x x ，所以选项C 正确。
3.A 解析：因为函数)(x f 二阶可导，且0)
(lim
=-→x x x f x x ，所以0)()(lim 00==→x f x f x x ，
故0)()
()(lim )(lim
0000
00='=--=-→→x f x x x f x f x x x f x x x x ，又因为0)(0<''x f ，所以由极值的第二
充分条件可知，函数)(x f 在0x x =处取得极大值，因此选项A 正确。
4.B 解析:；
⎰-=x
x
x f x f dx x f dx d 2)()2(2)(，故选项B 错误；由零点定理可知选项C 正确；由定积分性质中的估值定理可知选项D 正确。
5.C 解析：选项A ：交错级数，通项极限为：01
1
lim =+∞→n n ，且n n u u <+1，所以由莱
布尼茨审敛法，该级数收敛，但是加上绝对值后，级数∑∞
=+1
11
n n 发散，所以选项A
为条件收敛。
选项B ：交错级数，通项极限为：0)
1ln(1
lim
=+∞→n n ，且n n u u <+1所以由莱布尼茨
审敛法，该级数收敛，但是加上绝对值后，因为n
n 1
)
1ln(1>+，由小散证大散，级数
∑∞
=+1
)1ln(1
n n 发散，所以选项B 为条件收敛。选项C ：因为n n )1(cos -=π，故该级数为交错级数，通项极限为：
01
1lim
3
=+∞
→n n ，且n n u u <+1，所以由莱布尼茨审敛法，该级数收敛，加上绝对值后，级数
∑
∞
=+1
3
1
1
n n 收敛，所以选项C 为绝对收敛。专升本算第一学历吗
选项D ：P 级数，1=P 发散，所以选项D 为发散。
非选择题部分
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.a
e
解析:
a
x
x a x a x x x e x a x a =+=+⋅→→sin sin 10
10
)
sin 1(lim )sin 1(lim 7.
2
3
解析:3)3(22)23()3(lim 2sin )23()3(lim 00='=--=--→→f x x f f x x f f x x ，所以23)3(=
'f 8.9-解析：因为5)(cos sin lim
20=--→b x a
e x
x x ，极限存在且不为0，故
()
01lim 20
=-=-→a a e x x ，所以1=a ，故原式变为
=--→)(cos 1sin lim
20b x e x x x 52
1)(cos 2lim 0=-=-→b
b x x x x ，所以9
-=b 9.1解析:
t dt dx +=11，2
111t dt dy +-=，()t t t
t dt
dx
dt dy
dx dy
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=++-
==11111111
122，所以
122
1
1(1=⋅-==t dx dy 10.322y x y -或3
1y
-解析：方程0122=--y x 两边同时对x 求导，即：022='-y y x ，所以0='-y y x ，两边再同时对x 求导，得到：()012
=''-'-y y y ，即：
()y
y y 2
1'-=
''3
3222
11y y x y y y x -
=-=⎪⎪⎭⎫  ⎝⎛-=11.)1,1(-解析:()()
222
222211)1(21x
x x x x x f +-=
+-+='，令()0='x f ，得：1±=x ，当)1,1(-∈x ，有()0>'x f ，所以()x f 的单调递增区间为)
1,1(-12.1-e 解析:1)((1lim 101010
2
-===⎰∑-=∞→e e dx x f n k f n x n n n 13.1解析：原式1)1(ln 1(lim ln 1)(ln )(ln 12=---=⎪⎭⎫
⎝⎛-==
+∞→+∞
∞
+⎰
x x x d x x e
e
14.
3
4
34)131()238(=
---=15.x e x C C y 21+=，（1C ，2C 为任意常数）解析：特征方程为：0122
=+-r r ，解
得：121==r r ，故该齐次方程通解为：()x e x C C y 21+=，（1C ，2C 为任意常数）
三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。
16.解:)(21
lim lim sin lim sin 1ln lim 0000=+===-=-=+--→-→-→-→x
x x x x x x x x x x x e e x e e x e e x e e 洛【注】：此处用到的等价无穷小为：当0→x 时，x x ~)1ln(+，x
x ~
sin 17.解：方法一（指数对数化）：
对函数进行指数对数化：()())
sin 1ln(sin 1x x x
e x x y +=+=()()dx
dy y x x x x e x y x x x ππππ-=∴-='∴⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+++='∴=+  ,      ,  )sin 1cos )sin 1ln()sin 1ln(方法二（对数求导法则）：
两边同时取对数：()[]()x x x y sin 1ln ln +=，两边再同时对x 求导：
()()()dx dy y x
x
x x x y x y x ππππ-=∴-='∴+++='=  ,      ,  )sin 1cos )sin 1ln(18.解：原式10
)cos (5sin 5sin 5sin sin 00
50
50
2
=-=====
⎰⎰⎰⎰
π
π
πππ
x dx x dx x dx x dx x 19.解：令x t =，2t x =，tdt dx 2=，故：原式
()
2
arctan 2arctan t d t tdt t ⎰⎰=⋅=⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-=dt t t t dt t t t t t d t t t 22222
2
2
111arctan 1arctan )(arctan arctan C x x x x C t t t t ++-=++-=arctan arctan arctan arctan 2（C 为任意常数）
20.解：原式⎰⎰⎰
----=++-=
11
1141
1
451cos 45dx x
x dx x x x dx x x ，令x t 45-=，x t 452
-=，452t x -=，dt t dx )2
1(-=，故：原式61)315(81)5(81)21(453
13
312132
=
-=-=-⋅-=⎰⎰t t dt t dt t t t 21.解：因为在0=x 处可导，所以在0=x 处连续，b b x x f x x =+=-
-
→→)2(lim )(lim 0
，b f =)0(，0)1ln(lim )(lim 0
=+=+
+→→ax x f x x ，因为)(x f 在0=x 处连续，所以0=b )(x f 在0=x 处可导，22lim 0)0()(lim )0(00
=-+=--='--
→→-x
b
b x x f x f f x x ，a x ax
x
ax x f x f f x x x ==+=--='+++
→→→+000lim )1ln(lim 0)0()(lim )0(，因为在0=x 处可导，所以2=a ，
因此，当2=a ，0=b 时，)(x f 在0=x 处可导
22.解：设所求直线方程1L 与已知直线L 交点P 为)
2,3,1(000t t t +-所以)12,1,(000-+=t t t AP ，已知平面07232=-+-z y x 的法向量为：=→
n )1,3,2(-，根据题意，有：→
⊥n AP ，故：()()012132000=-++-t t t ，解得：40=t ，所以)7,5,4(=AP ，因此所求直线方程1L 方程为：
7
1
5241-=-=+z y x 23.解:（1）)(x f 的定义域：),(+∞-∞，)3)(1(34)(2--=+-='x x x x x f ，令
0)(='x f ，解得：11=x ，32=x ，由驻点划分定义域，得如下表格：
x
)1,(-∞1)
3,1(3),3(+∞)(x f '+
-
+
)
(x f 增
极大值
减
极小值
增
故极大值为：3
1
)1(=
f ，极小值为：1)3(-=f （2）因为42)(-=''x x f ，令0)(=''x f ，2=x ，当2<x 时，0)(<''x f ；当2>x 时，
0)(>''x f ，故点)3
1
,
2(-是拐点
四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
24.解:（1）因为：∑∞=-=+0)1(11n n n x x ，)1,1(-∈x 且[]x x +=
'+11)1ln(，所以
⎰+=+x
dt t
x 011
)1ln(∑∑⎰
∑∞
=-∞
=+∞
=-=+-=-=
110
10
0)1(1)1()1(n n n n n n
x n n
n n x n x dt t ，收敛域为：]
1,1(-（2）因∑∞
=--=+1
1
)
1()1ln(
n n
n n
x x ，收敛域为：]1,1(-，所以()()[]25ln 3ln -+=+x x ∑∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=1
152)1(5ln )521ln(5ln 521(5ln n n
n x n x x ，收敛域为：152
1≤-<
-x ，所以()()∑∞
=--⋅-+=+1125
)1(5ln 3ln n n
n
n x n x ，收敛域为：(]7,3-∈x

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