2021年湖南省高考数学第三次考试试卷（三模）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M＝{x|x﹣1＞0}，N＝{x|x2＜10}，则M∩N＝（ ）
A．{x立秋是几月几号2021年几点|x＞﹣} B．{x|1＜x＜10} C．{x|x＞} D．{x|1＜x＜}
2．已知z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），则＝（ ）
A．1﹣3i B．3+i C．1﹣i D．2﹣i
3．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ）
A．20家 B．10家 C．15家 D．25家
4．已知抛物线C：y＝mx2（m＞0）上的点A（a，2）到其准线的距离为4，则m＝（ ）
A． B．8 C． D．4
5．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同）．二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则立秋晷长为（ ）
A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
6．已知数列{an}满足2an＝3an+1﹣an+2，a2﹣a1＝1．
（1）证明：数列{an+1﹣an}是等比数列；
（2）若a1＝，求数列{an}的通项公式．
7．P为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点．若|OP|＝b，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p1和p2，则（ ）
A．p1＜p2 B．p1＝p2
C．p1＞p2 D．以上三种情况都有可能
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．在（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为﹣135 D．常数项为135
10．已知函数f（x）＝2alnx+x2+b．（ ）
A．当a＝﹣1时，f（x）的极小值点为（1，1+b）
B．若f（x）在[1，+∞）上单调递增，则a∈[﹣1，+∞）
C．若f（x）在定义域内不单调，则a∈（﹣∞，0）
D．若a＝﹣且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝﹣ex相切，则b＝﹣2
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠A＝60°，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，下列说法正确的有（ ）
A．平面PCD⊥平面PBD
B．三棱锥P﹣BCD四个面都是直角三角形
C．PD与BC所成角的余弦值为
D．过BC的平面与PD交于M，则△MBC面积的最小值为
12．已知函数f（x）＝2asinωxcosωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0，a＞0），若f（x）的最小正周期为π，且对任意的x∈R，f（x）≥f（x0）恒成立，下列说法正确的有（ ）
A．ω＝2
B．若x0＝﹣，则a＝
C．若f（x0﹣）＝2，则a＝
D．若g（x）＝f（x）﹣2|f（x）|在（x0﹣，x0﹣θ）上单调递减，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．已知单位向量，满足|﹣2|＝，则与的夹角为 ．
14．函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中．他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的．若一个量c＝a+b，而c所对应的函数值f（c）可以通过f（c）＝f（a）•f（b）得到，并且对另一个量d，若d＞c，则都可以得到f（d）＞f（c）．根据自己所学的知识写出一个能够反映f（c）与c的函数关系式： ．
15．直线l：（2a﹣1）x+（a﹣3）y+4﹣3a＝0与圆（x﹣2）2+y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ；此时a＝ ．
16．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是 ．
①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；
②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；
③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为2；
④三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a＝3bsinA，a＝3，c＝3．
（1）若b＜c，求b；
（2）求cos2C．
18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用．其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用．在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现．为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：
无疲乏症状 | 有疲乏症状 | 总计 | |
未接种疫苗 | 100 | 20 | 120 |
接种疫苗 | x | y | n |
总计 | 160 | m | 200 |
（1）求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．
（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查．若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望．
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