中考数学几何模型
第二十二节：二次函数特殊平行四边形存在性问题
422.二次函数正方形存在性问题(初三)
在平面直角坐标系中，抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点，交y 轴于点C .
(1)求抛物线的表达式,
(2)如图，直线y =34x +94与抛物线交于A,D 两点，与直线BC 交于点E .若M(m,0)是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H .
①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OFG 时，求m 的值;
②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2x +c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC,OA =1，对称轴为直线x =2，点D 为此拋物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线上C 、D 两点之间的距离是_______
(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求△BCE 面积的最大值;
(4)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写
出点Q 的坐标.
DNF二次觉醒424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0)，点B(―3,0)，且0O=OC.
(1)求抛物线的解析式
(2)点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标;
(3)抛物线上两点M,N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值
②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形.
425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)
如图，已知直线y=―2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A,B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x 轴于点C，交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y=―2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.
①求点M、N的坐标;
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形?并说明理由
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.
426.二次函数菱形存在性问题(初三)
如图，抛物线y=x2+2x―8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
(1)求A,B,C三点的坐标
(2)连接AC，直线x=m(―4<m<0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD.当OD⊥AC时，求线段DE的长;
(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为拋物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
427.二次函数菱形存在性问题三角形面积相等问题(初三)
x2+2x―6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC,BC.
如图，抛物线y=1
2
(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D.
①试探究：在直线1上是否存在点E，使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线1交于点M，与直线AC交于点N.当S△DWN=S△AOC时，请直接写出DM的长.
428.二次函数三角形面积最大值菱形存在性问题(初三)
如图，在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90∘，以A为顶点的抛物线y=―x2+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，动点P在对称轴上.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB 交AC于点D，过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点Q，连接AQ,CQ，当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?
(3)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P,M,EC为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.
429.二次函数菱形存在性问题(初三)
已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点0，且与x轴另一交点为(―33,0).
(1)求抛物线F的解析式.
x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限)，求y2―y1的(2)如图1，直线1:y=3
3
值(用含m的式子表示);
，设点A′是点A关于原点0的对称点，如图2.
(3)在(2)中，若m=4
3
①判断△AA′B的形状，并说明理由;
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存
在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
430.二次函数线段最大值菱形存在性问题(初三)
如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A(―3,0),B(1,0)，交y 轴于点C .点P(m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N .
(1)求这个二次函数的表达式:
(2)①若点P 仅在线段A0上运动，如图，求线段MN 的最大值;
②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M,N,C,Q 为顶点的四边形为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
431.二次函数菱形存在性问题(初三)
如图，一次函数y =33x ―3图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数y =33x 2+bx +c 图象过A 、B 两点.
(1)求二次函数解析式
(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以
B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
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