1 . 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？
【自然数】“数”（shù）起源于数（shǔ），一个、一个地数东西。由此而产生的用来表示物体个数的数
一，二，三，……
就叫自然数。零表示没有东西可数，零也是一个自然数。“一”是自然数的单位。任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。
【自然数的产生】自然数概念的产生，经过了漫长的岁月。首先，产生的是“有”、“无”的概念。原始人在打猎、捕鱼或采集果实时，对于猎物或果实的有、无是最为关心的。然后，“有”的概念进一步分化为“多”和“少”。为了比较多少而使用一一对应的方法时，必然会遇到“同样多”的物体集合（即等价集合）。等价集合被归入一类，并且从中选出一个大家熟悉的集合来表示这类集合的共同性质。其实质就是用具体的集合形象地表示数目的多少。例如，用一个人的耳朵的集合作为一类等价集合的代表。逐渐地，这类等价集合被称为“耳”。最后，脱离具体的事物集合，用专门术语表示一类等价集合的共同性质。于是，“耳”就演化为“二”。自然数“二”的概念就这样产生了。（图1—1）
图1—1
表示自然数的名词，许多都是从常见的实物演变而来的。如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”与波斯语的“
自然数是什么手”相近。南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。这些事实都说明自然数的概念来源于实践。
【弗莱格—罗素的自然数定义】1884年，德国数学家、逻辑学家弗莱格（F.L.G.Frege 1848—1925）在他的著作《算术基础》中，最先给出了自然数的定义。但这个成果当时少为人知。直至1902年，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素（B.A.W.Russell 1872—1970）重新给出这个定义。在他们作出的被后人称之为“弗莱格—罗素的自然数定义”中，将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集。” 能和有限集A建立一一对应的（即和A等价的）所有集组成的集称为“集A的基数”。记为A。即
A={B│B~A}
其中，~表示集的等价关系。为了使自然数的这个定义通俗易懂，有些用于教师教育的《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”。以往的人教版小学数学教科书在教学“5的认识”时，首先引导小学生观察画面上的五位解放军、
五匹马、五支，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等不同的物体集合。然后，引导小学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”。“五”就是这些物体集合的共同性质。从而初步形成自然数“五”的概念。可见，小学生对自然数的基数意义的认识，和弗莱格-罗素的自然数定义实质上是一致的。
【皮亚诺公理】为了建立自然数的公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺（G .Peano 1858—1932）在1891年给出了关于自然数的五条公理：
①0是一个自然数。
②0不是任何其它自然数的继数。
③每一个自然数a都有一个继数。
④如果自然数a与b的继数相等，则a、b也相等。
⑤（数学归纳法公理）如果一个由自然数组成的集合S包含0，并且当S包含某一个自然数a时，它一定也含有a的继数，那么S就包含全体自然数。
皮亚诺的这一公理系统被称之为“皮亚诺公理”，它标志着数学分析算术化运动的终结。
参考书
[1]《中国大百科全书数学》中国大百科全书出版社1988年11月第1版，P220；321—322；
461；510。
[2]《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—331。
[3]《逻辑与小学数学教学》金成梁著，北京师范大学出版社2001年9月第1版，P19—20。
2 . 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？
【基数】当自然数0，1，2，……用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”这里的“5”就是基数。
【序数】当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。
上体育课时排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，那么这个“35”既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境（即上下文）来判定。
3. 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？
【正整数】一个、一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，……也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称自然数。
【负整数】为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引用了正数与负数。如“盈利5元”用“+5元”表示，“亏损5元”就用“－5元”表示。这种在一个数前添加的表示它的“正”、“负”的符号叫做“性质符号”。添加了性质符号“+”或“－”的数分别称为“正数”与“负数”。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“－”的正整数叫做负整数。
【整数】正整数、零与负整数统称“整数”。（如图1-2）
负整数正整数……，－3，－2，－1，0，+1，+2，+3，…… 整数零
自然数
整数
图1—2
【皮亚诺的整数系】皮亚诺在构造了自然数系的公理后，又构造了整数系。
首先，用自然数偶（m，n）表示整数：
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