2023年全国硕士研究生统一入学考试数学（一）试题解析
一、选择题：1-10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）【答案】：B
【解析】：1
ln()
11lim lim limln(11
x x x x e y x k e x x x
）11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11
x x x b y kx x e x x e x x
11
lim ln[1]lim (1)(1)x x x x e x e x e
所以斜渐近线方程为：1y x e
（2）【答案】：C 【解析】：
微分方程"
'
0y ay by 的特征方程为2
0a b ，
当
2
40a b 时，特征方程有2个不同的实数根12, ，则12, 至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212x x
y C e C e 在(,) 无界当
2
40a b ，特征方程有2个相等的实根，1,22
a
若20C ，则微分方程的解2
12()a x y C C x e
在
(,) 无界
当2
40a b
时，特征方程的根为1,222
a i
则通解为：2
12(cos sin )
22
a
x y e
C C 此时，要使微分方程的解在在(,) 有界，则0a ，再由2
40a b 知0b （3）
【答案】：C 【解析】：
1）当0t 时，3sin cos ,sin 3x t dy t t t
y t t dx
；
当0t 时，,sin sin sin x t dy
t t t y t t dx
；
当0t 时，因为'
00()(0)sin (0)lim lim 03x t f x f t t
f x t
'00()(0)
sin (0)lim lim 0x t f x f t t f x t
所以'(0)0
f 2）0
sin cos lim '()lim 0'(0)3
x t t t t f x f
；'
00sin cos lim '()lim 0(0);3x t t t t f x f
所以0
lim '()'(0)0x f x f ，所以'()f x 在0x 处连续3）当0t 时，因为"
00'()'(0)sin cos 2(0)lim lim 339
x t f x f t t t f x t
"00'()'(0)
sin cos (0)lim lim 2x t f x f t t t f x t
所以"(0)f 不存在（4）
【答案】：A 【解析】由条件知
1
()n
n n b
a
为收敛的正项级数，进而绝对收敛；
设
1n
n a
绝对收敛，则由||||||||n n n n n n n b b a a b a a ，由比较判别法知，得
1n
n b
绝对收敛
设
1
n
n b
绝对收敛，则由||||||||n n n n n n n a a b b b a b ，由比较判别法知，
1
n
n a
绝对收敛
（5）答案：B 【解析】：对分块矩阵使用推广的初等行变换，注意到初等变换不改变矩阵的秩，如下：
0000E A A E BC E BC E ，00
0A r r n BC
E BC E
，1n 00
E C AB C AB E O
E O
E
， 20AB
C AB
r r r AB n O E O
E
2E O
E O E AB E AB AB E AB
O O
O O
AB
，则有： 2
132E AB n r n r AB n r AB AB
O
（6）答案：D 【解析】：选项A 矩阵得特征值为三个不同得特征值，所以必可以相似对角化；选项B 矩阵为实对称矩阵，所以必定可以相似对角化
选项C 矩阵得特征值为1，2，2，二重特征值的重数23(2)r C E ，所以必可以相似对角化选项D 矩阵的特征值为1，2，2，二重特征值的重数23(2)r D E ，所以不可相似对角化.
（7）【答案】：D
【解析】：根据题意，即是存在1234,,,k k k k ，使得
11223344k k k k ，等价于求解
12123434(,,,)0k k k k ，得到通解：12
343111k k k k k
，代入34,k k k k ，得到：15,8k k R
（8）【答案】：C
【解析】：由
X
服从参数为1的泊松分布，得到
1EX ，
111111
0212211!!!!
k k k k e e e e E X EX k e k e k k k k e
（9）【答案】：D 【解析】：注意到：
22
12
221222
121222111,1,2211,11
n S m S Z n Z m Z S n Z F n m Z S m
（10）【答案】：A
【解析】：注意到
：
0,1Y N
，根据
：ˆ()E E a Y
，
则a
，
2
22
2
2y y E Y y
，解出2
a
二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.（11）【解析】：注意到
2
2
220
ln 1ln 11lim
lim
1cos 11cos x x x x ax bx x x x bx x a e x
e x
，
首先得到：1a ，另外根据等价无穷小替换， 222
2001ln 12lim lim 1311cos 2
x x x b x x x bx x e x
，得到：2b ，则2ab （12）【解析】：切平面法向量为：
''0,0,01211x y z n z
，
根据点法式方程，切平面方程为：2z x y （13）【解析】由 f x 展开为余弦级数知， f x 为偶函数，由傅里叶级数公式知
1
22
2
21cos cos 1n a x n xdx n n
所以20n a ，
21
n
n a
（14）
【解析】
32323
1
1
2
1
22
1
2
1
1
1
1
u+2u+21
=++2=++x =2
f x dx f x dx f x dx f x dx f d f x dx f x dx f x dx f x dx dx
（15）
【解析】
11111222333123111
1
30013
T T T T T k k k k k k k
同理：
231
1,3k k
所以
22
2123119
k k k
（16）【解析】
由于11,3X B
2023考研时间，所以x=0,1，1Y 2,
2B
，所以y=0,1,2 2
2
012221111
=0=0+=1=1=32323
p X Y p X Y p X Y C C
，，三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）【解析】
（1）曲线L 在点 x,y P 处的切线方程为'
y=y (X -x)Y ，令X=0，切线在y 轴上的截距为'
Y y xy ，即'
1
1y y x
，解得 ln y x x c x ，又经过点 1,2，所以c=2， 2ln y x x x （2）由（1）知 x
1
=
2ln f x t t dt ， '
=x 2-lnx 0f x ，得到驻点2
x e
，由单调性知 f x 的
最大值在驻点处取得，最大值
2
41544f e
e .
（18）
【解析】'3'23
(235)020x y
f x y xy x f y x x
得驻点为210(0,0),(1,1),(,)327，''32''''
(235)(315),(23),2xx xy yy f y xy x x y x f x x f ，代入''
''''0(0,0),02
xx xy
yy A f B f C f
，则20AC B ，充分条件无法判断，利用定义法，当0x 时，取232332355(0),(,)()()[(1)](),
y x kx k f x y y x y x kx x k x kx o x 则
555500(,)()
lim lim x x f x y kx o x k x x
，由极限的局部保号性：0,(,0)x 时，(,)0f x y ，(0,)x
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