2022届河北省衡水中学高三五调数学试题
一、单选题
1．已知集合{||2
1}A x x =-<∣，{}2log 1B x x =<∣，则A B =（ ） A ．(0,3)
B ．(1,2)
C ．(,3)-∞
D ．(0,2)
【答案】B
【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算即可； 【详解】∵{||2
兹怎么读1}A x x =-<∣，{}2log 1B x x =<∣ 所以{|13}A x x =<<，{}|02B x x =<<
即(1,3)A =，(0,2)B =，∴(1,2)A B ⋂=，
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算以及绝对值不等式、对数不等式的解法，属于基础题.
2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A ．120种
B ．90种
C ．60种
D ．30种 【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1
6C ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种. 故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
3．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为
A B C D 【答案】D
【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ，所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,
所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，
设正三棱柱的各棱长为2，则115,22,3C N BC BN ===，
设直线AM 与1C N 所成角为θ，
在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522
θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为
104，故选D ．
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则|QF |＝( )
A ．72
B ．52
C ．3
D ．2
【答案】C
【分析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，利用抛物线定义以及相似得到|QF |＝|QQ ′|＝3.
【详解】如图所示：
过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为4FP FQ =，
所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，
所以|QF |＝|QQ ′|＝3.
故选C.
【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.
5．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y
x 上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为
A ．2
B ．52
C ．3
D ．72
【答案】B
什么的水乡【解析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.
【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-22223||||||222PC CA PC ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
6．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）
A ．30010
B ．40010
C ．50010
D ．60010
【答案】A 【解析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.
故选：A
【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 7．已知()f x 是偶函数，且对任意12,(0,)x x ∈+∞，
1212()()0f x f x x x ->-，设3()2a f =，3(log 7)b f =，3(0.8)c f =-，则（ ）
A ．b a c <<
B ．c a b <<
大学生村官培训心得C ．c b a <<
D ．a c b <<
【答案】B 【分析】由题意得偶函数()f x 在()0,+∞上为增函数，可将问题转化为判断333,log 7,0.82-到y 轴的距离的大小问题求解．
【详解】∵对任意()12,0,x x ∈+∞，()()
12120f x f x x x ->-，
∴函数()f x 在()0,+∞上为增函数．
又函数()f x 为偶函数，
∴()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 又3323333log 3log 27log 7log 49,10.802
==<=-<-<， ∴()()333log 70.82f f f ⎛⎫>>- ⎪⎝⎭
母亲节送什么礼物，即c a b <<． 故选B ．
【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．
8．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交
于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( )
A ．2
B
1 C
D
．2
【答案】C
【分析】由向量数量积等式推出l ⊥x 轴，求出点Q 坐标，进而得点B 坐标，再代入双曲线方程求解即得.
【详解】由已知得(),0A a ，设(),0F c ，富士山下 国语
由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=，
所以l x ⊥轴，即:l x a =，
不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b .
设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =， ()()00,2,c x y a c b ∴--=-，
00
322x c a y b =-⎧∴⎨=-⎩，即()32,2B c a b --， 点()00,B x y 在双曲线上，
()()22223221c a b a b --∴-=，
整理得229120c ac a --=，291210e e ∴--=，
解得e =
e =负值舍去).故选C. 故选：C
【点睛】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2=c 2-a 2转化为a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程，解之即可得e .
二、多选题
圣诞节暖心祝福语9．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ）
A ．17a
B ．35S
C ．1719a a -
D ．1916S S -
【答案】BD
【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据
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